Se $K$ è un campo di char $0$, allora $ {\rm End}_{\sf Grp}(K) = {\rm End}_{K\text{-}{\sf Mod}}(K)$

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Se $K$ è un campo di char $0$, allora $ {\rm End}_{\sf Grp}(K) = {\rm End}_{K\text{-}{\sf Mod}}(K)$

Messaggioda salvo.tringali il mer 8 mar 2017, 22:01

Sia $K$ un campo di caratteristica zero, e siano $u, v: K \to K$ endomorfismi del gruppo additivo di $K$ tali che $x = u \circ v(x)$ per ogni $x \in K$. Provate che esistono $a, b \in K \setminus \{0_K\}$ tali che $u(x) = ax$ e $v(x) = bx$ per ogni $x \in K$.
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Re: Se $K$ è un campo di char $0$, allora $ {\rm End}_{\sf Grp}(K) = {\rm End}_{K\text{-}{\sf Mod}}(

Messaggioda ma_go il ven 10 mar 2017, 0:39

questo mi sembra palesemente falso. $K$ è un'estensione di $\mathbb{Q}$, e la richiesta che sia additivo è equivalente alla linearità su $\mathbb{Q}$, mentre la tesi è la linearità su $K$. la dimensione dei due spazi di applicazioni è diversa.

per fare un esempio concreto, prendi $K = \mathbb{Q}(i)$. il coniugio è una mappa $\mathbb{Q}$-lineare invertibile che non è la moltiplicazione per alcuno scalare di $K$.
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Messaggioda salvo.tringali il ven 10 mar 2017, 9:45

Hai completamente ragione. E questo significa che c'è qualcosa di sbagliato anche da un'altra parte...
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