questo non lo avete mai visto (quasi certamente)

[hydro]

Una cosa interessante, ma temo nota, invece sarebbe trovare tutti gli reali tale che sia razionale. L'insieme di tali valori è finito, numerabile, ecc.?

beh che sia numerabile mi sembra abbastanza ovvio no? In $[0,\pi)$ c'e' una quantita' numerabile di $x$ tali che $\sin x$ e' razionale...

[MindFlyer]

Come dicevo, sono problemi chiusi da secoli. Basta una googlata per trovarne dimostrazioni anche elementari.

[Heine_Cantor]

$\displaystyle \tan{\frac{\pi}{180}}=-\frac{i ((-1)^{(1/90)} - 1)}{1 + (-1)^{(1/90)}}$

$\displaystyle \tan{\frac{3}{16}\pi}=\sqrt{4-2\sqrt{2}}-\sqrt{2}+1$

$\displaystyle \sin{\frac{3}{16}\pi}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

e veramente non c'è più nulla da dire.

[salvo.tringali]

Qui trovi alcuni riferimenti. Come già notato da altri, è roba vecchia di secoli...