Decomporre rapresentazioni di $SU(2)$ in irriducibili.

Matrici, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e affini, ...

Moderatore: Moderatori

Decomporre rapresentazioni di $SU(2)$ in irriducibili.

Messaggioda Fedecart il sab 18 gen 2014, 20:25

Si consideri una generica rappresentazione finitodimensionale di $SU(2)$, come decomporla in somma diretta di rappresentazioni irriducibili?

Io conosco un metodo per decomporre il prodotto tensoriale di rappresentazioni, ad esempio $\mathbf{2}\otimes\mathbf{2}=\mathbf{4}=\mathbf{1}\oplus\mathbf{3}$.
Questo metodo usa la corrispondenza biunivoca che esiste tra le reppresentazioni di $SU(2)$ ed i Tableax di Young, e alcune regolee su come moltiplicare fra loro i Tableaux.

Tuttavia esso è molto limitante: è applicabile solo al caso in cui la rappresentazione di partenza (in questo caso di dimensione $4$) sia il prodotto tensoriale di altre due rappresentazioni note.
Ora mi interesserebbe, se possibile, trovare un metodo pratico per decomporre una rappresentazione generica, anche nel caso in cui questa non sia il prodotto tensoriale di due rappresentazioni (oppure non si sappia se lo è o no).

Siete a conoscenza di un metodo del genere?

Come essempio concreto considerate $Sym^2[\mathbb{2}]$ (le rappresentazione simmetrica del second'ordine ottenuta dal prodotto simmetrico della rappresentazione aggiunta con se stessa). Questa ha dimensione $6$. Inoltre non è la rappresentazione simmetrica che si trova decomponendo il prodotto tensoriale dell'aggiunta con se stessa, come si puà notare computando $\mathbf{3}\otimes\mathbf{3}=\mathbf{9}=\mathbf{1}\oplus\mathbf{3}\oplus\mathbf{5}$.

Come decomporre $Sym^2[\mathbb{3}]$ in irriducibili?
La risposta, che si ottiene con ragionamenti fisici sugli spin delle particelle è $Sym[3]=\mathbf{5}\oplus\mathbf{1}$.
Tuttavia questi ragionamenti fisici sono matematicamente campati per aria, e non si generalizzano bene a rappresentazioni di dimensione alta, tipo
$Sym^k([3])$ con $k\in\mathbb{N}$ a piacere.

Come fare?

(PS ho postato in Algebra lineare anche se non c'azzecca molto, solo perchè parlando sto di rappresentazioni finitodimensionali di $SU(n)$, insiemi di matrici, e quindi mi pareva la zona più adatta. In caso vogliate riallocarla fate pure.)
Avatar utente
Fedecart
 
Messaggi: 312
Iscritto il: gio 10 set 2009, 17:56
Località: Madrid, Es.

Re: Decomporre rapresentazioni di $SU(2)$ in irriducibili.

Messaggioda killing_buddha il sab 18 gen 2014, 21:28

Conoscere tutte le irrep di SU(2) potrebbe esserti d'aiuto? Lo avevo fatto tempo fa.
- Se incontri il Buddha uccidilo. Devi vivere libero da ogni dogma: se non riesci a uccidere Buddha, come ucciderai il tuo pregiudizio?
- "Peu d'abstraction on éloigne de la géometrie; beaucoup on y ramène"
Avatar utente
killing_buddha
 
Messaggi: 2749
Iscritto il: gio 17 lug 2008, 19:51

Re: Decomporre rapresentazioni di $SU(2)$ in irriducibili.

Messaggioda Fedecart il sab 18 gen 2014, 21:39

Purtroppo quelle è da un pò che le conosco...
Pare che il problema sia più difficile del previsto, e nel caso più in generale forse ancora aperto, come dicono qui http://mathoverflow.net/questions/13165 ... -of-irreps
=(
Avatar utente
Fedecart
 
Messaggi: 312
Iscritto il: gio 10 set 2009, 17:56
Località: Madrid, Es.


Torna a Algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite