Matrici ortogonali su campo alg chiuso sono ortogonalmente diagonalizzabili?

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Matrici ortogonali su campo alg chiuso sono ortogonalmente diagonalizzabili?

Messaggioda salvo.tringali il ven 22 mar 2013, 14:08

Il titolo contiene gia' la domanda: E' vero che ogni matrice A di {\rm GO}_n(\mathbb K) e' ortogonalmente diagonalizzabile, nel senso che esiste P \in {\rm GO}_n(\mathbb K) tale che P^{-1} A P e' diagonale? Qui \mathbb K e' un campo algebricamente chiuso e {\rm GO}_n(\mathbb K) e' il gruppo generale ortogonale di grado n su \mathbb K.

Note. (1) Sappiamo per certo che ogni matrice ortogonale di {\rm GL}_n(\mathbb K), il gruppo generale lineare di grado n su \mathbb K, e' diagonalizzabile in {\rm GL}_n(\mathbb K), ma a priori non sappiamo se la matrice di passaggio puo' essere scelta in modo tale da essere anch'essa ortogonale. (2) Il teorema spettrale per le matrici reali simmetriche ci dice che una matrice A \in {\rm GO}_n(\mathbb R) e' ortogonalmente diagonalizzabile sse A e' simmetrica. Ma cosa si sa del caso complesso? Per rimarcare un'ovvieta', ortogonalmente diagonalizzabile e' ben diverso da unitariamente diagonalizzabile, in {\rm GL}_n(\mathbb C). (3) Ancora una volta, le questioni si riducono al caso del campo complesso (sempre per via del principio di Lefschetz / teorema di Tarski-Lefschetz), dunque fate pure di assumere \mathbb K = \mathbb C.
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Messaggioda salvo.tringali il sab 23 mar 2013, 22:29

La risposta è negativa, come mi faceva notare Carlein: se A \in {\rm GO}_n(\mathbb K) e B^T\cdot  A \cdot B = D per qualche B \in {\rm GO}_n(\mathbb K), dove D è una matrice diagonale di {\rm GL}_n(\mathbb K), allora A = B \cdot D \cdot B^T, e perciò A = A^T.
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