Le radici di una matrice diag a blocchi sono matrici diag a blocchi?

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Le radici di una matrice diag a blocchi sono matrici diag a blocchi?

Messaggioda salvo.tringali il gio 21 mar 2013, 22:08

Fissate n \in \mathbb N^+ e supponete che A sia una matrice diagonale a blocchi di taglia n \times n a ingressi in \mathbb C, diciamo A = {\rm diag}(A_1, \ldots, A_m), dove il blocco A_i è una matrice quadrata di taglia k_i \times k_i, con k_1 + \cdots + k_m = n. Poniamo, adesso, che A ammetta una radice p-esima per qualche primo razionale positivo p, chiamiamola X. È vero che X è essa stessa (coniugata di) una matrice diagonale a blocchi del tipo {\rm diag}(X_1, \ldots, X_m) per cui X_i è di taglia k_i \times k_i e X_i^p = A_i?
Ultima modifica di salvo.tringali il gio 21 mar 2013, 22:13, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda ma_go il gio 21 mar 2013, 22:13

non è che \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)^2 = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)?
(la prima è una radice della seconda, che è a blocchi 1x1, mentre lei stessa non lo è)
(prendendo le matrici circolanti, si ha un controesempio analogo per valori di p>2, con radici dell'identità che hanno un solo blocco)
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Messaggioda salvo.tringali il gio 21 mar 2013, 22:13

Sì, avevo dimenticato un "coniugata di": hai postato mentre editavo. Tra l'altro, una domanda anche migliore sarebbe: Se A possiede una radice p-esima X, è vero che si può sempre scegliere X in modo che sia una matrice diagonale a blocchi del tipo {\rm diag}(X_1, \ldots, X_m), in cui X_i è di taglia k_i \times k_i e X_i^p = A_i?
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