Lo speciale lineare di grado n su un campo alg chiuso e' divisibile?

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Lo speciale lineare di grado n su un campo alg chiuso e' divisibile?

Messaggioda salvo.tringali il mer 20 mar 2013, 14:08

La domanda fa il paio con l'altra sul gruppo lineare generale (click). Siano n un intero positivo e \mathbb K un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. E' vero che lo speciale lineare di ordine n su \mathbb K e' un gruppo divisibile (NB: la tesi e' banalmente falsa se \mathbb K ha caratteristica finita)? Sappiamo dalle considerazioni fatte nell'altro thread che ogni matrice n x n a ingressi in \mathbb K, chiamiamola A, ammette almeno una radice m-esima per ogni m \in \mathbb N^+, chiamiamola B: il punto e' che, sebbene si abbia \det(B)^m = 1, nulla garantisce a priori che si possa scegliere B in modo tale che \det(B) = 1.

EDIT 1. non so dire se sia di alcun aiuto, ma e' sufficiente verificare la tesi soltanto per le radici di indice primo. EDIT 2. Si potrebbe tentare nuovamente di ridurre l'analisi al caso complesso, invocando il principio di Lefschetz, ma non mi e' chiaro se la condizione \det(B) = 1, quando n sia stato fissato, si possa esprimere come una formula del linguaggio del prim'ordine degli anelli.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 20 mar 2013, 15:16

salvo.tringali ha scritto:[...] EDIT 2. Si potrebbe tentare nuovamente di ridurre l'analisi al caso complesso, invocando il principio di Lefschetz, ma non mi e' chiaro se la condizione \det(B) = 1, quando n sia stato fissato, si possa esprimere come una formula del linguaggio del prim'ordine degli anelli.

Si', la condizione \det(B) = 1 e' effettivamente codificabile in una formula del linguaggio del prim'ordine degli anelli: si tratta di applicare ricorsivamente la formula di Laplace per i determinanti definendo il "determinante" di una generica "matrice formale" di ordine n \times n nelle variabili x_{1,1}, \ldots, x_{1,n}, x_{2,1}, \ldots, x_{2,n}, \ldots, x_{n,1}, \ldots, x_{n,n} come

    (\cdots (f_1(x_{2,2}, x_{2,3}, \ldots, x_{n,n}, x_{3,2}, x_{3,3}, \ldots, x_{3,n},\ldots, x_{n,1}, x_{x,3}, \ldots, x_{n,n})- f_2(x_{2,1}, x_{2,3}, \ldots, x_{2,n}, x_{3,1}, x_{3,3}, \ldots, x_{3,n}, \ldots, x_{n,1}, x_{x,3}, \ldots x_{n,n}))
      + \cdots + f_{n-1}(x_{2,1}, x_{2,2}, \ldots, x_{2,n-2}, x_{2,n}, x_{3,1}, x_{3,2}, \ldots, x_{3,n-2}, x_{3,n},\ldots, x_{n,1}, x_{n,2}, \ldots, x_{n,n-2}, x_{n,n}))
      + (-1)^{n+1} f_n(x_{2,1}, x_{2,2}, \ldots, x_{2,n-1},x_{3,1}, x_{3,2}, \ldots, x_{3,n-1}, \ldots, x_{n,1}, x_{n,2}, \ldots, x_{n,n-1}),
dove le f_i sono le formule che codificano i determinanti delle "matrici formali" di taglia (n-1) \times (n-1) composte con le variabili indicate ai loro argomenti, che sono formule del prim'ordine del linguaggio degli anelli per ipotesi induttiva (NB: poiche' stiamo lavorando al livello dei linguaggi, le "somme" sono nient'altro che stringhe, quindi vanno parentesizzate in qualche modo, anche se, poi, ai fini dell'applicazione del teorema di Lefschetz, la parentesizzazione effettivamente utilizzata non ha alcun valore, poiche' il risultato si applica ai campi, che sono modelli associativi della teoria, sia per l'addizione che per la moltiplicazione). Dunque il problema si riduce al caso complesso!
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Messaggioda salvo.tringali il mer 20 mar 2013, 20:29

Possiamo naturalmente ridurre l'enunciato al caso di una matrice invertibile gia' in forma normale di Jordan, chiamiamola J: siano J_1, \ldots, J_m i blocchi di Jordan di J, cosicche' J = {\rm diag}(J_1, \ldots, J_m), e sia k_i il numero di righe (o colonne) di J_i. Poiche' {\rm GL}_n(\mathbb C) e' divisibile, sappiamo che per ogni i = 1, \ldots, m esiste una matrice k_i \times k_i a ingressi complessi, chiamiamola A_i, tale che A_i^p = J_i, dove p e' un primo naturale fissato (come ho gia' osservato nel post precedente, si possono considerare unicamente le radici di ordine primo p). Di conseguenza A^p = J, se A := {\rm diag}(A_1, \ldots, A_m). Sappiamo che 1 = \det(J) = \det(J_1) \cdots \det(J_m) = \det(A_1)^p \cdots \det(A_m)^p = \det(A)^p, cosicche' \det(A) = e^{i \frac{2h\pi}{p}} per qualche h = 0, 1, \ldots, p-1 (e' qui che usiamo il fatto di esserci ridotti al caso complesso per via del principio di Lefschetz). D'altro canto, se \lambda_i e' l'autovalore di J_i (al netto della sua molteplicita' algebrica) e \vartheta_i := \angle \lambda_i (la fase di \lambda_i, riferita all'intervallo [0, 2\pi[), allora \det(A_i) = |\lambda_i|^\frac{k_i}{p} \cdot e^{i \frac{\vartheta_i + 2h_i \pi}{p}} per qualche h_i = 0, 1, \ldots, k_i - 1. Idealmente, vorremmo, adesso, "rinormalizzare" A_i moltiplicandola per un "fattore correttivo" del tipo e^{i \frac{2\ell_i \pi}{p}}, con \ell_i \in \mathbb Z, alla luce del fatto che B_i^p = A_i^p = J_i, se B_i := e^{i \frac{2\ell_i \pi}{p}} A_i, e quindi B^p = J, se B := {\rm diag}(B_1, \ldots, B_m). Ne risulta

    \det(B) = \det(B_1) \cdots \det(B_m) = \prod_{i=1}^m |\lambda_i|^\frac{k_i}{p} \cdot e^{i \frac{\vartheta_i + 2(h_i + k_i \ell_i) \pi}{p}} =\prod_{i=1}^m e^{i \frac{\vartheta_i + 2(h_i + k_i \ell_i) \pi}{p}},
poiché \prod_{i=1}^m  |\lambda_i|^\frac{k_i}{p} = \prod_{i=1}^m |\det(A_i)| = |\det(A)| = 1. Ma adesso?
Ultima modifica di salvo.tringali il mer 20 mar 2013, 22:27, modificato 6 volte in totale.
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Messaggioda killing_buddha il mer 20 mar 2013, 20:32

Quanto scommettiamo che il prossimo a rispondere a salvo sarà... salvo? :rotfl:
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Messaggioda salvo.tringali il mer 20 mar 2013, 22:53

salvo.tringali ha scritto:[...] Ne risulta [...] \det(B) = [...] = \prod_{i=1}^m e^{i \frac{\vartheta_i + 2(h_i + k_i \ell_i) \pi}{p}} [...]. Ma adesso?

In sostanza, si vorrebbero determinare \ell_1, \ldots, \ell_m \in \mathbb Z tali che \frac{1}{p} \sum_{i=1}^m (\vartheta_i + 2h_i \pi) + \frac{2\pi}{p} \sum_{i=1}^m  k_i \ell_i \equiv 0 \bmod 2\pi. Usando il fatto che \frac{1}{p} \sum_{i=1}^m (\vartheta_i + 2h_i \pi) \equiv \frac{2\pi}{p} \bmod 2\pi, si tratta equivalentemente di provare che esistono \ell_1, \ldots, \ell_m \in \mathbb Z tali che \frac{2}{p} \sum_{i=1}^m  k_i \ell_i \equiv \frac{2}{p} \bmod 2, i.e. 2\sum_{i=1}^m k_i \ell_i \equiv 2 \bmod 2p, che è vero sse p \nmid \gcd(k_1, \ldots, k_m). In altre parole, la strada percorsa fin qui nel tentativo di dimostrare che {\rm SL}_n(\mathbb C) è divisibile, comporta "soltanto" l'esistenza di tutte le radici k-esime per cui il più piccolo divisore primo naturale di k è maggiore di n. E per le altre? Non mi è chiaro se una radice p-esima di una matrice J in forma normale di Jordan debba essere necessariamente del tipo {\rm diag}(A_1, \ldots, A_m), dove A_i sia una radice p-esima dell'i-esimo blocco diagonale, J_i, di J. Fosse vero, ne seguirebbe che lo speciale lineare di grado n sul campo complesso non è divisibile per n > 1. D'altra parte, quest'ultimo ragionamento suggerisce anche dove scovare un possibile controesempio.
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Messaggioda salvo.tringali il gio 21 mar 2013, 13:27

Il controesempio esiste, ed io sbagliavo i miei calcoli per il caso n = 2: v. qui.
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