Ogni matrice invertibile su un campo alg chiuso ammette una rad quadrata?

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Ogni matrice invertibile su un campo alg chiuso ammette una rad quadrata?

Messaggioda salvo.tringali il dom 17 mar 2013, 18:05

La domanda è sbucata fuori dal nulla discutendo ieri con Carlein di una sfiziosa questione collegata ai gruppi divisibili. Prendete un campo algebricamente chiuso, \mathbb K, e un intero n \ge 2. È vero che ogni unità di \mathcal M_n(\mathbb K), l'anello usuale delle matrici n \times n a ingressi in \mathbb K, possiede una radice quadrata (e, più in generale, una radice k-esima per ogni k \in \mathbb N^+)? In caso contrario, forse che la tesi è vera per qualche \mathbb K particolare?
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Messaggioda salvo.tringali il dom 17 mar 2013, 18:49

OK, mi rispondo parzialmente da solo: la risposta è affermativa nel caso in cui \mathbb K sia il campo complesso, in conseguenza del fatto che ogni matrice quadrata invertibile a ingressi in \mathbb C possiede un logaritmo: il risultato è attribuito da N.J. Higham a F.R. Gantmacher (v. teorema 1.27 in N.J. Higham, Functions of Matrices - Theory and Applications, 2003). La mia 'congettura' è che sia vero, più in generale, sse \mathbb K ha caratteristica zero, ma servirebbe una dimostrazione essenzialmente algebrica, mi dico, per stabilire almeno la parte sufficiente dell'implicazione, perché l'approccio con i logaritmi del caso complesso non è ripetibile in un contesto più generale, visto che si fonda su considerazioni analitiche riconducibili alla definizione della matrice esponenziale.
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Messaggioda salvo.tringali il dom 17 mar 2013, 19:12

E d'altro canto, ho un modo diretto per dimostrare che, almeno per n = 2, un campo di caratteristica 2 non va bene. Basta considerare la matrice triangolare superiore A di \mathcal M_2(\mathbb K) che ha tutti 1 come elementi sulla diagonale e al di sopra della diagonale. Se esistesse B = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] tale che B^2 = A, allora dovrebbe aversi a^2 + bc = (a+d) \cdot b = bc+d^2 = 1 e (a+d) \cdot c = 0. Ne seguirebbe c = 0, e quindi a^2 = d^2 = 1, i.e. a = d = 1, da cui 2b = 1, che è impossibile. Tuttavia, non vedo come generalizzare questo approccio, che è piuttosto contoso, al caso di matrici di taglia n qualsiasi e/o di campi di caratteristica finita qualsivoglia.
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Messaggioda salvo.tringali il dom 17 mar 2013, 19:28

...ma è anche vero che ogni matrice quadrata a ingressi in un campo algebricamente chiuso possiede una forma normale di Jordan, ossia esiste una matrice invertibile P \in \mathcal M_n(\mathbb K) tale che A = P^{-1} \cdot {\rm diag}(J_1, \ldots, J_p) \cdot P, dove J_1, \ldots, J_p sono blocchi di Jordan (v. qui). Questo vuol dire che l'intero problema si riduce alla classificazione di tutti e soli i campi \mathbb K (algebricamente chiusi) per cui un blocco di Jordan di dimensione n a ingressi in \mathbb K possiede una radice k-esima per ogni intero k \ge 2.
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Messaggioda salvo.tringali il dom 17 mar 2013, 21:06

Sì, vanno bene tutti e soli i campi di caratteristica zero: in effetti, il caso dei campi di caratteristica finita è 'banale', mentre il caso dei campi di caratteristica zero ha una dimostrazione a dir poco geniale (v. qui).
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Messaggioda salvo.tringali il dom 17 mar 2013, 22:21

E il caso in caratteristica zero ha, poi, un'altra dimostrazione, parimenti geniale ma molto meno 'elementare', che passa attraverso la dimostrazione preliminare del caso complesso (con ogni mezzo disponibile, ivi inclusa l'analisi) e invoca, poi, il principio di Lefschetz. Quite impressive.
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Messaggioda salvo.tringali il lun 18 mar 2013, 22:05

Alt! Riguardando meglio la dimostrazione di Muller su MO, mi viene un dubbio: non riesco a capire come faccia a concludere con tanta disinvoltura che, se B è un blocco di Jordan di taglia n x n con tutti 1 sulla diagonale principale e I_n è la matrice identità di ordine n, allora (A_m)^m = I_n + (B - I_n) = B per ogni fissato m \in \mathbb N^+ quando A_m := \sum_{i=0}^{n-1} \binom{1/m}{i} (B-I_n)^i (notare che B-I_n è una matrice nilpotente di ordine di nilpotenza pari a n). C'è qualcosa di "ovvio" che mi sfugge? Sviluppando (A_m)^m con il teorema del multinomiale, si trova che il tutto è uguale a

    \displaystyle \sum_{k_0 + k_1 + \cdots +  k_{v-1} = m} \binom{m}{k_0,k_1, \ldots, k_{v-1}} \alpha_0^{k_0} \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_{v-1}^{k_{v-1}} \xi^{k_1 + 2k_2 + \cdots + (v-1)k_{v-1}},
dove per comodità \xi := B - I_n e \alpha_i := \binom{1/m}{i} per i = 0, 1, \ldots, n-1. Ora, pare che Muller stia dicendo che gli unici termini non nulli di tutta questa roba sono quelli che corrispondono alle n-uple (k_0, k_1, \ldots, k_{n-1}) = (m, 0, 0, \ldots, 0) e (k_0, k_1, \ldots, k_{n-1}) = (m-1, 1, 0, \ldots, 0), che non è, tuttavia, vero. Cosa mi perdo? Invece l'altra dimostrazione, con il principio di Lefschetz, mi torna completamente.
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Messaggioda salvo.tringali il mar 19 mar 2013, 17:28

OK, credo di aver trovato da solo la risposta, anche se mi mancano ancora un paio di dettagli. L'idea fondamentale e' di usare la proprieta' universale delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario. Dunque parto con un anello unitario commutativo \mathcal R = (R, +, \cdot), pesco un elemento nilpotente \xi \in \mathcal R con ordine di nilpotenza pari a v, e considero l'anello \mathcal R \llbracket x \rrbracket delle serie formali in una variabile x a coefficienti in \mathcal R: nel caso specifico della risposta di Muller, \xi e' la matrice B - I_n del commento precedente, ed \mathcal R e' il sottoanello unitario di \mathcal M_n(\mathbb  K) generato da B - I_n, dove \mathcal M_n(\mathbb K) denota l'anello delle matrici n x n a coefficienti in \mathbb K (da notare che \mathcal R e' commutativo). Sia, quindi, P(x_1, x_2) il polinomio x_1^m - x_2 di \mathcal R[x_1, x_2], l'anello dei polinomi a coefficienti in \mathcal R nelle variabili x_1 e x_2, e ammettiamo di poter dimostrare che f(x)^m = 1 + x quando f(x) e' la serie formale di potenze \sum_{i=0}^\infty \binom{1/m}{i} x^i (*), nell'ipotesi che il gruppo additivo di \mathcal R sia unicamente divisibile (vuol dire che per ogni n \in \mathbb N^+ ed y \in \mathcal R l'equazione nx = y ammette un'unica soluzione x \in \mathcal R), in modo da dare senso formale al binomiale generalizzato \binom{1/m}{i}. Allora a^n = 1 + \xi, con a := \sum_{i=0}^{v-1} \binom{1/m}{i} \xi^i, per via di quanto stabilito qui.

(*) Questo e' l'unico punto che resta in sospeso.
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Messaggioda salvo.tringali il mar 19 mar 2013, 19:48

A-ah! C'e' un modo piu' intelligente di sfruttare, nel caso specifico, la proprieta' universale delle serie formali: parto da un anello unitario \mathcal A, poco importa se commutativo o meno, e assumo che il gruppo additivo di \mathcal A sia unicamente divisibile, cosicche' \mathcal A mi diventa un'algebra associativa unitaria su \mathbb Q. Dopodiche' prendo un elemento nilpotente \xi \in \mathcal A e considero la \mathbb Q-sottoalgebra unitaria di \mathcal A generata da \xi, e la chiamo \mathcal R. Adesso applico la proprieta' universale delle serie di potenze non a \mathcal R\llbracket x \rrbracket, bensi' a \mathbb Q\llbracket x \rrbracket. Ho finito, perche' per dimostrare che l'identita' desiderata vale in \mathbb Q\llbracket x \rrbracket mi e' sufficiente embeddare \mathbb Q\llbracket x \rrbracket in \mathbb C \llbracket x \rrbracket (NB: parlo di un embedding di anelli commutativi unitari, le algebre le mettiamo da parte, a questo punto della storia), e qui posso usare quanto gia' noto dall'analisi (!) sulla serie binomiale. Il tutto, praticamente, senza fare un solo conto.

Edit. In realta', mi manca ancora da capire perche' si possa inferire un'identita' in \mathbb C\llbracket x \rrbracket da un'identita' fra serie di Maclaurin dotate di un raggio di convergenza positivo, ma e' gia' tanto aver ridotto il problema originale a qualcosa di nettamente piu' familiare... Qualcuno ne sa niente?
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Messaggioda salvo.tringali il sab 23 mar 2013, 20:05

salvo.tringali ha scritto:Edit. In realta', mi manca ancora da capire perche' si possa inferire un'identita' in \mathbb C\llbracket x \rrbracket da un'identita' fra serie di Maclaurin dotate di un raggio di convergenza positivo, ma e' gia' tanto aver ridotto il problema originale a qualcosa di nettamente piu' familiare... Qualcuno ne sa niente?

È semplice: non lo capisco perché il problema non esiste, nel senso che non è chiaro quale fosse formalmente il mio problema: c'è un'ovvia corrispondenza bigettiva fra le serie formali di \mathbb C \llbracket x \rrbracket e le successioni \mathbb N \to \mathbb C, e tanto basta per fare tutti i conti sufficienti a stabilire le identità che mi servono utilizzando i potenti mezzi dell'analisi complessa. Btw l'identità del problema specifico si può anche derivare, più semplicemente, dall'identità di Chu-Vandermonde.
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