Sistema di disequazioni lineari

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Sistema di disequazioni lineari

Messaggioda gianni80 il mer 19 dic 2012, 18:24

Definizione. Siano A e B due matrice delle stesse dimensioni. Diciamo A>B se ogni a_{ij} > b_{ij} per ogni i,jcon a_{ij} e b_{ij} elementi rispettivamente di A e B.
Problema. Sia A una matrice quadrata, X un matrice colonna. Stabilire una condizione necessaria e sufficiente su A affinchè: AX > O e X > O con O matrice colonna nulla.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 19 dic 2012, 19:12

...sse x_i > 0 e \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j > 0 per ogni i.
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Messaggioda gianni80 il mer 19 dic 2012, 19:53

Voglio una condizione necessaria e sufficiente sugli a_{ij}. E' possibile che la condizione necessaria e sufficiente sia det(A) > 0? :unsure:
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Messaggioda salvo.tringali il mer 19 dic 2012, 19:59

...che sia valida uniformemente rispetto a X? O che sia valida per un X fissato? Nel secondo caso, la vedo dura a trovare una condizione che prescinde dal coinvolgimento degli x_i.
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Messaggioda gianni80 il mer 19 dic 2012, 20:30

X è la matrice delle incognite, in sostanza: stabilire una condizione necessaria e sufficiente su A affinchè esista almeno una X con AX > O e X > O.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 19 dic 2012, 20:57

gianni80 ha scritto:X è la matrice delle incognite, in sostanza: stabilire una condizione necessaria e sufficiente su A affinchè esista almeno una X con AX > O e X > O.

In tal caso, un'ovvia condizione (solo) sufficiente e' che A abbia (almeno) un'intera colonna i cui ingressi sono tutti positivi. Che sia anche necessaria sembra improbabile.
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Messaggioda gianni80 il mer 19 dic 2012, 21:05

Ciascuna disequazione è un semispazio e ogni riga di A è il vettore normale al rispettivo iperpiano (che passa per l'origine). Io credo che i semispazi hanno intersezione non nulla e X > 0 se e solo se i vettori sono orientati come la base canonica quindi con det(A)>0. Questa idea la prendo per analogia con il caso di dimensione 2 e 3.
Conosci del materiale che tratta questo argomento?
Ultima modifica di gianni80 il gio 20 dic 2012, 0:35, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 19 dic 2012, 21:13

D'altra parte, un'ovvia condizione necessaria e' che ogni riga di A contenga almeno un elemento positivo. Dunque sia f la funzione che associa ad ogni i \in S_n := \{1, 2, \ldots, n\} il piu' grande elemento positivo sulla riga i-esima di A. Poiche' il problema e' invariante rispetto a una qualunque permutazione delle righe di A, possiamo assumere wlog che f(1) \ge f(2) \ge \cdots \ge f(n). Idem dicasi con le colonne: se \sigma e' una permutazione di S_n e X e' un vettore positivo tale che AX > O, allora la piu' ovvia azione di \sigma su X produce un vettore positivo X^\prime tale che A^\prime X^\prime > O, dove A^\prime indica la matrice prodotta dalla piu' ovvia azione di \sigma sulle colonne di A. Dunque, se c e' la funzione che associa ad ogni i \in S_n l'indice di colonna di f(i) in A, allora possiamo anche assumere wlog 1 = c(1) \le c(2) \le \cdots \le c(n). Forse non servira' a molto, ma perlomeno "polarizza" il problema.
Ultima modifica di salvo.tringali il mer 19 dic 2012, 21:19, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda gianni80 il mer 19 dic 2012, 21:18

Rilancio.
Siano A e B due matrici quadrate ed X una matrice colonna, stabilire una condizione necessaria e sufficiente su A e su B affinchè esista almeno una X con AX > O e BX > O.
E' possibile che la condizione sia: sign(det(A)) = sign(det(B))?
Ultima modifica di gianni80 il mer 19 dic 2012, 21:25, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 19 dic 2012, 21:24

gianni80 ha scritto:Siano A e B due matrici quadrate, stabilire una condizione necessaria e sufficiente su A e su B affinchè esista almeno una X con AX > O e BX > O.
E' possibile che la condizione sia: sign(det(A)) = sign(det(B))?

No. In \mathbb R^{2,2}, prendi come A la matrice identita' I_2 e come B la matrice {\bf 1}_2 - I_2, dove {\bf 1}_2 e' la matrice costante di taglia 2 x 2 i cui ingressi sono tutti pari a 1. Quindi prendi come X il vettore [1, 1]^T.
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