Endomorfismi di spazi vettoriali

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Endomorfismi di spazi vettoriali

Messaggioda gianni80 il sab 24 nov 2012, 0:07

Sia V uno spazio vettoriale, v un vettore qualsiasi e u un vettore non nullo. Dimostrare che esistef \in End(V) tale che f(u)=v.
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Messaggioda maurer il sab 24 nov 2012, 0:15

L'assioma della scelta nella forma del lemma di Zorn mostra che esiste una base \{\mathbf u_i\}_{i \in I} con \mathbf u_{i_0} = \mathbf u. Pertanto, per definizione di base V = \bigoplus_{i \in I} K \mathbf u_i, e la proprietà universale della somma diretta di moduli conclude.

Equivalentemente: il lemma di Zorn produce una base \{\mathbf u_i\}_{i \in I} con \mathbf u_{i_0} = \mathbf u, quindi per definizione V \simeq F(I), l'oggetto K-spazio vettoriale libero sull'insieme I. Allora per aggiunzione \text{Hom}_{\mathbf{Vct}_K}(V,V) = \text{Hom}_{\mathbf{Set}}(I,V), il che implica la tesi.
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Messaggioda gianni80 il sab 24 nov 2012, 0:24

E' possibile dimostrarlo senza l'assioma di scelta? O forse questo enunciato ne è una forma equivalente?
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Messaggioda maurer il sab 24 nov 2012, 0:45

L'assioma della scelta è equivalente alla possibilità di estendere insiemi linearmente indipendenti a basi.
Assumi che ogni sottoinsieme linearmente indipendente di un K-spazio vettoriale V possa essere completato ad una base.
Sia f \colon A \to B una mappa suriettiva in \mathbf{Set}; vogliamo mostrare che è split.
Sia \alpha \colon K^{(A)} \to K^{(B)} la mappa ottenuta con il funtore \mathcal F (oggetto libero). Siccome questo funtore è aggiunto sinistro, conserva gli epi. Quindi \alpha è suriettiva in \mathbf{Vect}_K. Otteniamo una successione esatta corta 0 \to \ker \alpha \to K^{(A)} \to K^{(B)} \to 0. Scegli una base \{\mathbf u_i\}_{i \in I} di \ker \alpha, completala ad una base \{\mathbf u_i\}_{i \in I} \cup \{\mathbf v_j\}_{j \in J} di K^{(A)}. Allora \{\alpha(\mathbf v_j)\}_{j \in J} è una base di K^{(B)}. Segue per aggiunzione che esistono biezioni h \colon J \simeq B e g \colon I \sqcup J \simeq A. Allora B \xrightarrow{h^{-1}} J \to I \sqcup J \xrightarrow{g} A è una sezione di f (di nuovo per aggiunzione), ossia f è split.

Vi convince? Data l'ora non posso essere sicuro al cento per cento, ma mi sembra filare.

Nota. E' equivalente dire che ogni sottoinsieme linearmente indipendente di un K spazio vettoriale V può essere completato ad una base e che ogni vettore non nullo è contenuto in una base. Infatti, il primo asserto implica banalmente il secondo. Per il viceversa, fissate \{\mathbf u_i\}_{i \in I} un sottoinsieme linearmente indipendente di vettori dentro V. Sia W il loro span. Considerate V / W; se è lo spazio nullo avete finito; altrimenti c'è un vettore non nullo; completatelo ad una base del quoziente e tornate indietro. Et voilà, avete una base di V contenente \{\mathbf u_i\}_{i \in I}.
Ultima modifica di maurer il sab 24 nov 2012, 17:43, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda ma_go il sab 24 nov 2012, 9:06

magari sono stupido io, ma non hai dimostrato che l'affermazione "ogni sottoinsieme linearmente indipendente di uno spazio vettoriale può essere completato ad una base" è equivalente all'assioma di scelta?
questo è un fatto ben noto (visto che in particolare puoi scegliere l'insieme vuoto, come insieme linearmente indipendente).

quello che non mi è chiaro è perché la prima affermazione sia equivalente al problema proposto. magari lo è, e pure in maniera ovvia, ma io non lo vedo.
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Messaggioda maurer il sab 24 nov 2012, 9:34

E' quello che ho dimostrato, io non conoscevo la dimostrazione di quel fatto.

Al momento non so per il problema iniziale.
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Messaggioda ma_go il sab 24 nov 2012, 10:00

gianni80 ha scritto:E' possibile dimostrarlo senza l'assioma di scelta? O forse questo enunciato ne è una forma equivalente?

maurer ha scritto:E' equivalente.(...)

maurer ha scritto:Al momento non so per il problema iniziale.

:wacko:
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Messaggioda maurer il sab 24 nov 2012, 17:44

Hai ragione, che ci posso fare? Ieri notte mi sembrava scontato che il problema fosse equivalente alla possibilità di costruire basi, ma alla luce del giorno ho cambiato idea. Ho editato, mettendo in spoiler.
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Messaggioda salvo.tringali il sab 24 nov 2012, 18:11

Non mi è chiaro se il quesito iniziale (dell'OP) sia stato risolto o meno. Ad ogni modo, il problema si generalizza come minimo al caso in cui source e target di f non sono lo stesso spazio vettoriale. Poniamo, infatti, che \mathbb V e \mathbb W siano spazi vettoriali sullo stesso ground field \mathbb K. Dato u \in \mathbb V \setminus \{0\}, si è visto che, perlomeno in ZFC, esiste una base \{u_i\}_{i \in \eta} di \mathbb V per cui u = u_{i_0} per qualche i_0 \in \eta, cosicché è ben possibile associare ad ogni v \in \mathbb V la funzione \kappa_v: \eta \to \mathbb K univocamente determinata dalla condizione che v = \sum_{i \in \eta} \kappa_v(i)\;\! u_i. Di conseguenza, se w è un vettore di \mathbb W, la funzione f: \mathbb V \to \mathbb W: v \mapsto \kappa_v(i_0)\;\! w definisce un omomorfismo di \mathbb K-spazi vettoriali da \mathbb V in \mathbb W per cui f(u) = w.
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Messaggioda maurer il sab 24 nov 2012, 18:40

Se è per questo si può generalizzare in tanti modi. Ad esempio mostrando che ogni spazio vettoriale è proiettivo.

Il problema è capire se l'enunciato iniziale è equivalente in ZF all'assioma della scelta.
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