Gruppo speciale lineare su un anello euclideo

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Gruppo speciale lineare su un anello euclideo

Messaggioda maurer il ven 19 ott 2012, 20:50

Mi sono dato ai contazzi (mi ci hanno costretto).

Prove it! Sia A un anello euclideo. Per ogni intero positivo n > 0, introduciamo \text{SL}_n(A) := \{M \in M_{n,n}(A) \mid \det(M) = 1\}. Inoltre, denotiamo con \{E_{ij}\}_{1 \le i,j \le n} la base canonica di M_{n,n}(A). Denotiamo con E_n(A) il sottogruppo di \text{SL}_n(A) generato dal sottoinsieme \{I_n + \lambda E_{ij}\}_{\lambda \in A}, dove I_n è la matrice identità n \times n. Mostrate che E_n(A) = \text{SL}_n(A).

Nota: Il mio esercizio era guidato e la strada era piuttosto contorta (perché si dimostravano anche tanti altri fatti collaterali). Lo posto così perché sono curioso di vedere se c'è una prova più breve.
Ultima modifica di maurer il ven 19 ott 2012, 23:32, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda ma_go il ven 19 ott 2012, 23:21

cosa vuol dire "\lambda\in A è generico"?
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Messaggioda maurer il ven 19 ott 2012, 23:32

Ho editato, dovrebbe essere più chiaro. :bye:
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Messaggioda killing_buddha il sab 20 ott 2012, 0:14

Avevo visto qualcosa di simile nel corso di gruppi algebrici e teoria di Galois differenziale: viene da qualcosa di simile?
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Messaggioda maurer il sab 20 ott 2012, 9:49

Viene semplicemente dal corso di teoria dei numeri! Ma, se devo essere sincero, non sto capendo tanto dove vuole andare a parare... nelle esercitazioni spacca di brutto, nelle lezioni per il momento è piuttosto insipido...
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Messaggioda Martino il ven 2 nov 2012, 19:34

L'avevo fatto nella mia tesi di laurea triennale. E' una quantità di conti piuttosto imbarazzante.
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Messaggioda maurer il ven 2 nov 2012, 20:31

:mrgreen: Sì, lo è. Non per niente mi ci sono riferito come a "contazzi". Potrei essere più preciso: "contazzi a manetta". :rotfl:
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Messaggioda j18eos il dom 18 nov 2012, 16:32

Nei casi particolari che A sia \mathbb{R} oppure \mathbb{C} l'ho dimostrato topologicamente, a meno di miei errori, qui.
Semplicemente Armando! ;-)
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