Un polinomio caratteristico valutato in 2 cosh(t)

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Un polinomio caratteristico valutato in 2 cosh(t)

Messaggioda killing_buddha il ven 14 set 2012, 14:37

[Easy Contazzo] Si consideri la forma quadratica

    q_n(x_1,\dots, x_n)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2x_kx_{k+1}
Si provi che il polinomio caratteristico P_{q_n}(X) della matrice associata a q_n e' tale per cui

    P_{q_n}(2\cosh t) = \displaystyle \frac{e^{(n+1)t}-e^{-(n+1)t}}{e^t-e^{-t}}
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Messaggioda Delirium il ven 15 mar 2013, 18:10

La matrice associata alla forma quadratica data è del tipo:

    A_n=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0  & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 & \dots & 1 & 0   \end{pmatrix}
E' facile notare come valga la seguente relazione (basta fare un attimo di conto con lo sviluppo di Laplace della prima riga)

    P_{q_n}(X)=\text{det}(XI_n - A_n)=X \cdot \text{det}(XI_{n-1}-A_{n-1}) - \text{det}(XI_{n-2}-A_{n-2}) \quad (\star)
Poi: se per esempio n=4 si ha

    P_{q_4}(x)= \begin{vmatrix} X & -1 & 0 & 0 \\ -1 & X & -1 & 0 \\ 0 &-1 & X & -1 \\ 0 & 0 & -1 & X \end{vmatrix}=X \cdot \begin{vmatrix} X & -1 & 0 \\ -1 & X & -1 \\ 0 & -1 & X \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} X & -1 \\ -1 & X \end{vmatrix}\\

    =X\cdot(X^3 - 2X) - (X^2 -1) = X^4 -3X^2 +1
Infine

    P_{q_4}(2 \cosh t)=(e^t + e^{-t})^4 - 3(e^t + e^{-t})^2 +1\\

    \displaystyle =e^{-4t} + e^{-3t+t} + e^{-2t+2t} + e^{-t+3t} + e^{4t} = \frac{e^{5t} - e^{-5t}}{e^{t} - e^{-t}}

La verifica "empirica" dei casi n=3 e n=4 rappresenta la base induttiva.
Assunti i casi n-2 e n-1 (ipotesi induttiva), provo la validità della formula utilizzando (\star): infatti è

    P_{q_n}(X)=X\cdot P_{q_{n-1}}(X) - P_{q_{n-2}}(X)
donde

    P_{q_n}(2 \cosh t)= \displaystyle (e^t + e^{-t})\frac{e^{nt} - e^{-nt}}{e^t - e^{-t}} - \frac{e^{(n-1)t} - e^{-(n-1)t}}{e^t - e^{-t}}=\frac{e^{(n+1)t} - e^{-(n+1)t}}{e^t - e^{-t}}
Cuore amore errore disintegrazione
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