Sulle matrici positive (easy version of Frobenius-Perron Theorem)

Matrici, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e affini, ...

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Messaggioda pic il mar 7 ago 2012, 19:25

In effetti c'e' un problema nel caso in cui la matrice sia \rho \in ]0,1] al di fuori della diagonale, dovuto al fatto che compare un autovalore di dimensione 1 ed un altro di dimensione n-1 (comunque sia, compare sempre l'autovettore che cambia di segno esattamente una volta). Quindi edito la tesi.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 8 ago 2012, 14:03

In effetti, si può modificare il mio esempio precedente in un vero e proprio controesempio (*), considerando la matrice A := \alpha \mathbf{1}_n + (1-\alpha) I_n, dove \alpha \in \mathbb R^+, {\bf 1}_n è la matrice n x n i cui ingressi sono tutti uguali ad 1, e I_n è la matrice identità della medesima taglia. Chiaramente A è simmetrica (quindi diagonalizzabile e con autovalori reali) e tutti i suoi ingressi sono positivi. In quanto allo spettro, si trova che

    \forall \lambda \in \mathbb C: \det(A - \lambda I_n) = \alpha^n \det({\bf 1}_n - \alpha^{-1}(\alpha + \lambda - 1) I_n) = p(\alpha^{-1}(\alpha + \lambda - 1)),
dove p(\cdot) è il polinomio caratteristico di {\bf 1}_n (inteso come una funzione \mathbb C \to \mathbb C). Col risultato che \lambda \in \mathbb C è un autovalore di A sse \lambda = (n-1)\alpha + 1 oppure \lambda = 1 - \alpha: quest'ultimo, in particolare, è un autovalore di molteplicità (**) pari almeno a n-1, e anzi esattamente uguale a n-1 poiché 1 - x \ne (n-1) x + 1 per ogni x \in \mathbb C \setminus \{0\} (***). Ne segue che, oltre ad essere simmetrica e a ingressi positivi, A è anche definita positiva se 0 < \alpha < 1.

@pic. Mi pare di capire che disponi di una dimostrazione del fatto che, in ogni caso, almeno un autovettore (v_1, v_2, \ldots, v_n)^\top di A (la matrice di questo esempio) relativo all'autovalore più piccolo verifica la condizione per cui esiste un unico i tale che v_i v_{i+1} < 0, right?

Note. (*) Alla prima versione del problema, dove si chiedeva pure conto della molteplicità geometrica del secondo autovalore. (**) Algebrica e geometrica, in quanto A è diagonalizzabile. (***) il che, d'altra parte, si poteva anche dedurre dal teorema di Frobenius-Perron o dall'OP, visto che gli ingressi di A sono tutti positivi, e quindi esiste per certo almeno un autovalore di molteplicità pari a 1.

Edit. E pic mi fa notare in pm che era esattamente questo il senso del suo ultimo post (sorry, ultimamente sono anche più distratto del solito).
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Messaggioda pic il mer 8 ago 2012, 18:10

In realtà no, era anche quella una congettura. Sono in alto mare, anche un risultato parziale sarebbe utile (ad es, se la dimensione è 1 allora c'è quel tipo di autovettore..)
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Messaggioda salvo.tringali il ven 10 ago 2012, 14:22

@pic. You may be interested in this thread (from the board of MO).
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Messaggioda pic il ven 10 ago 2012, 20:30

salvo.tringali ha scritto:@pic. You may be interested in this thread (from the board of MO).

Grazie salvo, anche se purtroppo mi pare di capire ci si concentri su condizioni minimali per avere il primo autovettore positivo. Sul secondo autovettore si trova poco in genere, in particolare sulla proprieta' di cambio di segno.

Ad esempio mi pare ci sia un risultato che dice che una matrice \text{STP}_k ha almeno i primi k autovalori con dimensione 1, ed il k-autovettore cambia segno k-1 volte. Tuttavia le mie condizioni non implicano \text{STP}_2.

(Nota: una matrice e' \text{STP}_k quando ogni sottomatrice quadrata p\times p con p\le k ha determinate positivo. La notazione nasce dalla dicitura Strictly Totally positive, in cui si assume k=n, ordine della matrice)
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Messaggioda pic il ven 10 ago 2012, 21:45

In caso, metto qui il mio punto 2
Prendiamo v di norma unitaria, e wlog con un'entrata positiva, tale che v^TAv=\lambda_1. Se x:=(|v_1|,\ldots,|v_n|) allora x ha norma 1, e vale v^TAv\le x^TAx con uguaglianza solo quando v=x; tuttavia x^TAx\leq \lambda_1 perche' \lambda_1 e' il massimo autovalore []
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Messaggioda salvo.tringali il dom 12 ago 2012, 9:57

pic ha scritto:Grazie salvo, anche se purtroppo mi pare di capire ci si concentri su condizioni minimali per avere il primo autovettore positivo. [...]

Pare anche a me, ma ho sperato che potesse comunque tornarti utile, in qualche modo... La ricerca di un controesempio, sempre che ne esista alcuno, è seriamente complicata dal fatto che ci sono un sacco di condizioni da imporre.
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Update

Messaggioda salvo.tringali il lun 10 set 2012, 12:37

@pic. Potresti trovare qualche risposta alle tue domande in: A. Elhashash and D. B. Szyld, On general matrices having the Perron-Frobenius property, Electronic J. Linear Algebra, Vol. 17 (2008), pp. 389-413.
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