Sul determinante di [tex]A=(a_{ij})[/tex] con [tex]a_{ij}=1-\delta_{ij}[/tex]

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Sul determinante di [tex]A=(a_{ij})[/tex] con [tex]a_{ij}=1-\delta_{ij}[/tex]

Messaggioda Paolo90 il sab 11 feb 2012, 16:59

Self-posed & solved. Sia n \in \mathbb{N}^{+} e si consideri la matrice quadrata di ordine n
A = \left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & \ldots & 1 \\ 
1 & 0 & \ldots & 1 \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
1 & \ldots & 1 & 0
\end{array}
\right)
cioè la matrice in cui a_{ij}=1-\delta_{ij} (delta di Kronecker). Allora A è non singolare e vale \det A = (-1)^{n-1}(n-1).

Corollario. Sia M una matrice quadrata di ordine n>0, con n pari, i cui elementi sulla diagonale sono interi pari, mentre tutti gli altri sono interi dispari. Dimostrare che il determinante di Anon è nullo.

Note.
1) Il corollario è (tratto da) un'ammissione in Normale (al quarto anno) di qualche anno fa. La prima parte è una generalizzazione che ho trovato svolgendo l'esercizio, ma non escludo che ci siano vie più semplici. Mi domando se le matrici della forma considerata abbiano un nome particolare che io ignoro.

2) Per il corollario, potrebbe essere utile questo post di Salvo.
'We're all mad here. I'm mad. You're mad.'
'How do you know I'm mad?' said Alice.
'You must be', said the Cat, 'or you wouldn't have come here.'
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Messaggioda maurer il sab 11 feb 2012, 17:19

Definizione. Siano c_1,\ldots,c_n \in \mathbb C. La matrice circolante generata da c_1,\ldots,c_n è la matrice A = (a_{ij}) con a_{ij} = c_{\sigma^{i - 1}(j)}, dove \sigma è la permutazione \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \end{pmatrix}.

Rilancio. Sia A la matrice circolante generata da c_1,\ldots,c_n. Allora \det(A) = \prod_{h = 0}^{n-1} \sum_{j = 1}^n c_{n + 1 - j} (\zeta_n^h)^j, dove \zeta_n è una radice n-esima primitiva dell'unità.
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Messaggioda Igor il mar 14 feb 2012, 5:40

Un metodo alternativo per l'esercizio di Paolo.
Sia B la matrice quadrata di ordine n con tutte le entrate uguali a 1.
Si ha che \mbox{dim Ker }B=n-1. Inoltre B\cdot(1,1,\ldots ,1)^t=n(1,1,\ldots ,1)^t, da cui segue che n è autovalore per B.
Allora il polinomio caratteristico di B è
p_{B}(x)=x^{n-1}(x-n).
Visto che A=B-I_n, si ha che il polinomio caratteristico di A è
p_{A}(t)=det(A-tI_n)=det(B-(t+1)I_n)=p_{B}(t+1)=(t+1)^{n-1}(t+1-n)
Il termine noto del polinomio caratteristico è 1-n, da cui det(A)=(-1)^{n-1}(n-1)
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Messaggioda Carlein il mer 21 mar 2012, 1:49

Faccio notare che questo determinante ha una interpretazione combinatorica carina,come stabilito da elianto qua: viewtopic.php?f=8&t=2249 In più lì ho aggiunto anche una piccola euristica con cui uno può sgamare il determinante,che mi sembra non sia inclusa in alcuni dei vostri commenti precedenti(in sostanza di usare il teorema spettrale per sgamare gli autovettori)
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Messaggioda Martino il mer 16 mag 2012, 16:10

Carlein ha scritto:Faccio notare che questo determinante ha una interpretazione combinatorica carina,come stabilito da elianto qua: viewtopic.php?f=8&t=2249
A proposito di questo, segnalo questo (avevo proposto il problema qui).
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