Fattorizzazione di matrice in quattro matrici triangolari

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Fattorizzazione di matrice in quattro matrici triangolari

Messaggioda Carlein il ven 4 feb 2011, 10:31

Salve gente,
mettendo insieme un paio di cose che mi è capitato di leggere ultimamente, mi è uscito fuori il seguente(a meno che non abbia preso qualche abbaglio):
Ogni matrice complessa di ordine n si può fattorizzare nel prodotto di quattro matrici triangolari(ciascuna superiore o inferiore a scelta), dovrebbe valere per campi algebricamente chiusi in generale. Ora il motivo che ho trovato è piuttosto strambo(che è l'unico motivo per cui non mi sembra una futilità allo stato puro, l'enunciato di per sè non mi dice molto altro), qualcuno vede un motivo triviale(che banalizzerebbe del tutto la questione e si può anche procedere alla rimozione)? O se non lo vede, e gli interessa un pò allora provi pure perchè una soluzione senza insozzarsi le mani ci dovrebbe essere.
Perdonate l'estrema inessenzialità del tutto :mrgreen:
:bye:
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Un'idea

Messaggioda salvo.tringali il gio 24 feb 2011, 16:27

Carlein ha scritto:[...] mettendo insieme un paio di cose che mi è capitato di leggere ultimamente, mi è uscito fuori il seguente [...]: Ogni matrice complessa di ordine n si può fattorizzare nel prodotto di quattro matrici triangolari (ciascuna superiore o inferiore a scelta), dovrebbe valere per campi algebricamente chiusi in generale. [...]

Più in generale, siano \mathbb{F} un campo (se algebricamente chiuso oppure no, non è importante), n un intero positivo, ed A \in \mathcal M_n(\mathbb{F}) (il consueto anello delle matrici n \times n a ingressi in \mathbb{F}). Date le ipotesi, A è SD-equivalente alla matrice diagonale, D, ottenuta dall'identità, I_n, di \mathcal M_n(\mathbb{F}) azzerandone gli ultimi n-k elementi diagonali, dove k := \text{rank}(A). Ossia esistono due matrici regolari (i.e., invertibili) Q_1, Q_2 \in \mathcal M_n(\mathbb F) tali che A = Q_1 D\;\!Q_2. Appunto perché regolari, Q_1 e Q_2 possiedono, d'altronde, una fattorizzazione LUP, cioè esistono L_1, L_2, U_1, U_2, P_1, P_2 \in \mathcal M_n(\mathbb F) tali che i) L_1 ed L_2 sono triangolari inferiori, ii) U_1 ed U_2 sono triangolari superiori, iii) P_1 e P_2 sono matrici di permutazione, e iv) Q_1 = L_1 U_1 P_1 e Q_2 = P_2 L_2 U_2. Allora A = L_1 \cdot U_1 \cdot (P_1D\;\! P_2)\cdot L_2\cdot U_2, da cui la tesi a patto di poter provare che P_1D\;\! P_2 è scomponibile nel prodotto di una matrice triangolare superiore, U, per una matrice triangolare inferiore, L. Il che, poi, è equivalente a dimostrare che ogni matrice P di permutazione (di qualunque ordine essa sia) è il prodotto di una triangolare superiore per una triangolare inferiore (dello stesso ordine di P).

Edit. Niente, mi sa che bisogna ripensarci. Supponiamo, infatti, esistano a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{F} tali che \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 0 & a_3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} b_1 & 0 \\ b_2 & b_3\end{array}\right], dove 0 e 1 sono, risp., lo zero e l'identità moltiplicativa di \mathbb{F}. Allora a_3 b_3 = 0 e a_2 b_3 = a_3 b_2 = 1, il che è chiaramente impossibile.
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Messaggioda Carlein il mer 21 mar 2012, 1:33

Ok anche qua il primo passo di salvo era in una direzione risolutiva. L'idea successiva la vorrei raccontare perchè è divertente:
Fatto generale:Sia G un gruppo topologico,siano U aperto e V denso. Allora UV=X. Basta osservare che dato x in X, U^{-1}x è un aperto,che quindi interseca V,che è denso.
Osservazione:le matrici LU sono un'aperto denso del gruppo topologico GL_n(\mathbb{C}),topologia euclidea(questo segue dalla condizione sui minori).
Quindi si ha dal Fatto generale (LU)(LU)=(GL_n(\mathbb{C}). Questo sistema le invertibili. Debbo ridare un'occhiata a quelle di rango qualsiasi,che non mi torna più il trucco che avevo pensato(..ma comunque la cosa che mi aveva colpito era il discorso di su,nel caso sistemo anche questo aggiungo)
Probabilmente il discorso fila su qualsiasi campo algebricamente chiuso,a patto di cambiare la topologia euclidea con quella di Zarisky,ma non ho fatto con calma le dovute verifiche.
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Messaggioda Carlein il mer 21 mar 2012, 10:53

Chiedo venia si aggiusta con un argomento uguale:
Fatto ancora più generale:Sia G un monoide topologico,per cui passare all'inverso è continua se ci restringiamo a G^*. Sia U aperto contenuto in G^* e V denso, allora UV=G. L'argomentazione è quella di prima,perchè infatti non abbiamo usato da nessuna parte che V fosse invertibile,ma che lo è U.
Applichiamo Fatto ancora più generale alla situazione U=LU invertibili, V=LU generiche. Sono entrambi aperti densi,quindi siamo nelle ipotesi del Fatto ancora più generale, e anche questo è sistemato.
p.s:io all'epoca il caso delle matrici generiche avevo pensato che si sistemava con un trucchetto che permetteva di ricondursi a quelle invertibili,ieri me lo sono ricordato per scriverlo e scrivendolo ho visto che non andava,ma questo qui di ora va alla grande.
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