Forum Scienze Matematiche

di **NoiR** il ven 22 gen 2010, 17:08

Buonasera a tutti!

La mia domanda potrà apparire banale...ma: esiste un metodo per calcolare una base per l'insieme intersezione, avendo le basi dei singoli insiemi, e senza ricorrere al concetto di rango ( e tutto quanto abbia a che fare con le matrici)?

Ringraziandovi in anticipo, vi saluto!

di **epsilon** il ven 9 apr 2010, 15:19

Per uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo infinito non credo ci siano modi per farlo. Considera questo esempio.

Prendiamo $\mathbb{R}^3$ come spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ e consideriamo la base standard $e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)$ . Costruiremo due sottospazi, diciamo due piani, per la cui intersezione sappiamo caratterizzare le basi, per cui sappiamo cioè come sono fatte tutte le basi. Quindi faremo finta di dimenticarcerlo, cambieremo le basi dei due piani e li interscheremo di nuovo, studiando se ci sono delle relazioni evidenti tra le nuove basi dei piani e le basi dell'intersezione prima caratterizzate (naturalmente l'intersezione non è cambiata). Chiamiamo $V_1 = span(e_1,e_2)$ , ora scegliamo in questo piano un vettore a piacere, diciamo $x = k_1e_1 + k_2e_2$ con $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$ fissati. Ora prendiamo come secondo piano $V_2 = span(e_3,x)$ . Ora, $V_1 \cap V_2 = span(x)$ , quindi tutte e sole le basi di questa intersezione, una retta, sono i vettori del tipo $\alpha x$ con $\alpha \in \mathbb{R}\setminus{0}$ . Bene, ora cambiamo base a $V_2$ , scegliamo come nuova base $(e_3, y)$ con $y = x + e_3$ e immaginiamo di dimenticare tutto ciò che sappiamo su $x$ . Adesso abbiamo due sottospazi di $\mathbb{R}^3$ : $V_1 = span(e_1, e_2)$ e $V_2 = span(e_3, y)$ e vogliamo trovare una base per $V_1 \cap V_2$ . Chiaramente, il problema equivale a trovare $x$ , ma ricordiamoci che $x = k_1e_1 + k_2e_2$ e questa combinazione era quanto mai arbitraria! Anche sapendo che $x$ è una combinazione di $e_1,e_2$ (è pur sempre $V_1 \cap V_2 \subset V_1$ ) dovremmo indovinare esattamente i due numeri reali $k_1,k_2$ che costituiscono la combinazione!

Forse se il campo dello spazio vettoriale è finito puoi andare per tentativi...

di **ineff** il dom 22 ago 2010, 23:03

epsilon ha scritto:Per uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo infinito non credo ci siano modi per farlo. Considera questo esempio.

Prendiamo $\mathbb{R}^3$ come spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ e consideriamo la base standard $e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)$ . Costruiremo due sottospazi, diciamo due piani, per la cui intersezione sappiamo caratterizzare le basi, per cui sappiamo cioè come sono fatte tutte le basi. Quindi faremo finta di dimenticarcerlo, cambieremo le basi dei due piani e li interscheremo di nuovo, studiando se ci sono delle relazioni evidenti tra le nuove basi dei piani e le basi dell'intersezione prima caratterizzate (naturalmente l'intersezione non è cambiata). Chiamiamo $V_1 = span(e_1,e_2)$ , ora scegliamo in questo piano un vettore a piacere, diciamo $x = k_1e_1 + k_2e_2$ con $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$ fissati. Ora prendiamo come secondo piano $V_2 = span(e_3,x)$ . Ora, $V_1 \cap V_2 = span(x)$ , quindi tutte e sole le basi di questa intersezione, una retta, sono i vettori del tipo $\alpha x$ con $\alpha \in \mathbb{R}\setminus{0}$ . Bene, ora cambiamo base a $V_2$ , scegliamo come nuova base $(e_3, y)$ con $y = x + e_3$ e immaginiamo di dimenticare tutto ciò che sappiamo su $x$ . Adesso abbiamo due sottospazi di $\mathbb{R}^3$ : $V_1 = span(e_1, e_2)$ e $V_2 = span(e_3, y)$ e vogliamo trovare una base per $V_1 \cap V_2$ . Chiaramente, il problema equivale a trovare $x$ , ma ricordiamoci che $x = k_1e_1 + k_2e_2$ e questa combinazione era quanto mai arbitraria! Anche sapendo che $x$ è una combinazione di $e_1,e_2$ (è pur sempre $V_1 \cap V_2 \subset V_1$ ) dovremmo indovinare esattamente i due numeri reali $k_1,k_2$ che costituiscono la combinazione!

Dunque, se ho capito bene quello che intendi dire è che dati due piani.......ma che diamine generalizziamo, due sottospazi vettoriali, diciamo $V_1$ e $V_2$ , generati rispettivamente dai vettori $v_1,\ldots,v_n$ e $w_1,\ldots,w_m$ vorresti trovare l'intersezione trovando le $n$ -ple di coefficienti $k_1,\ldots,k_n$ tali che $k_1 v_1+\ldots+k_n v_n \in V_2$ , ovvero le $n$ -ple per cui esista un $m$ -pla $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ tale che $k_1 v_1 + \ldots + k_n v_n = \alpha_1 w_1 +\ldots + \alpha_m w_m$ . In tal caso (supponendo di lavorare in $\mathbb{K}^n$ , dove $\mathbb{K}$ è un opportuno campo) questo problema alla fine si riduce a divenire la risoluzione di un sistema a coefficienti in $\mathbb{K}$ , poichè l'equazioni vettoriali di sopra di riducono alla risoluzione di un sistema.

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Come calcolare una base dell'intersezione di due sottospazi

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