Matrici simmetriche con integrali

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Matrici simmetriche con integrali

Messaggioda jordan il lun 7 mar 2016, 21:05

Sia $(X,\Sigma,\mu)$ uno spazio di probabilità e sia $f:X\to \mathbf{R}$ una funzione misurabile nonnegativa.

E' vero che la seguente matrice
$$
\begin{pmatrix} \int f^4 \mathrm{d}\mu & \int f^3\mathrm{d}\mu & \int f^2\mathrm{d}\mu \\ \int f^3\mathrm{d}\mu & \int f^2\mathrm{d}\mu & \int f\mathrm{d}\mu \\ \int f^2\mathrm{d}\mu & \int f\mathrm{d}\mu & 1 \\ \end{pmatrix}
$$
ha determinante nonnegativo?
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Re: Matrici simmetriche con integrali

Messaggioda ma_go il mer 9 mar 2016, 21:59

sì, è vero; di più, se $1$, $f$ e $f^2$ sono linearmente indipendenti in $L^2(\mu)$ (ovvero se non esistono $a,b,c$ reali tali che $a+bf+cf^2 = 0$ $\mu$-quasi ovunque), allora è strettamente positivo.

sia $V$ lo span di $\{1,f,f^2\}$ in $L^2(\mu)$; la matrice che hai costruito è la matrice che rappresenta il prodotto scalare $L^2$ su $V$. il determinante è quindi positivo se $V$ ha dimensione 3 e $0$ se $V$ ha dimensione minore di 3.
la cosa chiaramente si generalizza a matrici $n\times n$.
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