Il misterioso tripode della QFT

Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il sab 4 mag 2013, 21:20

Domenico422 ha scritto:Chiedo a tutti, ma soprattutto a Killing_buddha:
in quali altri settori della MQ si applica la teoria delle categorie?

:D Uno aspetta tre anni una domanda del genere e poi quando capita non sa cosa rispondere.

Una risposta sincera coinvolge buona parte dello scibile attuale; diciamo che ab ovo la meccanica quantistica (nel seguoto, MQ) nella sua totalita' condivide con la teoria delle categorie (nel seguito, CT) molte delle assunzioni di base. In effetti sia MQ che CT prendono le mosse da una filosofia di tipo "trasformazionale": a determinare l'informazione di cui un sistema e' composto non sono tanto gli enti che lo costituiscono ma il modo in cui questi enti possono venire modificati.
Piu' concretamente: in CT cio' che conta sono le frecce, piu' che gli oggetti che le suddette frecce hanno per testa/coda. In MQ il sistema e' uno spazio (lineare) che il processo di osservazione modifica applicandovi un omomorfismo (lineare); entrambi i paradigmi si rappresentano graficamente mediante una freccia, $f\colon V\to W$.

Cercare di rendere rigorose queste analogie ha originato un voluminoso lavoro di "riscrittura" della massima parte della MQ conosciuta nel linguaggio di CT: dare contezza dello stato dell'arte in maniera completa esula dalle mie capacita' e dal tempo che ho a disposizione. Una linea di studio possibile e' questa, che mutuo dal monumentale lavoro di Baez Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone.

In Fisica, spesso si e portati a considerare sistemi che sono la giunzione di sottosistemi piu' semplici, possibilmente interagenti tra loro e con l'ambiente, che evolvono in parallelo: MQ modella questo dicendo che se il sistema A risulta dalla giunzione di due sottosistemi $A_1, A_2$, allora A verra' modellato dal prodotto tensoriale degli spazi che associ ai due sottosistemi. Questo rende la struttura monoidale della categoria $\bf Hilb$ degli spazi di Hilbert di fondamentale importanza nello studio categoriale della MQ; in effetti, e' notorio che proprieta' categoriali assenti o presenti in $\bf Hilb$ (o in categorie simili) rispecchiano teoremi noti ai fisici: per esempio molti teoremi no-go del tipo di quello di Wotters e Zurek (A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802-803), oppure il risultato di A. K. Pati e S. L. Braunstein, Impossibility of Deleting an Unknown Quantum State, legati al "trasporto" di informazioni in maniera quantistica. Ti rimando alla stele di Rosetta, e alla sua bibliografia per maggiori informazioni.
Quest'ultima constatazione porta alla luce il fatto che informazione quantistica, computazione quantistica, crittografia quantistica sono argomenti tra loro correlati: a studiare una formulazione categoriale della quantum information/computation sono stati principalmente Bob Coecke e Richard Blute (piu' altri comprimari di Coecke, sostanzialmente figli di un Dio minore). Coecke ho provato a leggerlo, ma ha uno stile un po' troppo procedurale, che non mi piace perche' non capisco. Con Blute ho avuto una conversazione per email qualche mese fa: questo e' il riassunto e mi sembra un punto interessante perche' abbastanza di svolta.

Sostanzialmente, negli ultimi anni si sta imponendo un cambiamento di paradigma interessante, perche' si e' capito come tradurre in termini categoriali la nozione di localita' di Einstein, di modo che i protocolli quantistici, che si modellano all'interno di categorie monoidali simmetriche dotate di un qualche calcolo grafico, possono essere completamente categorificate. Meno arabo, adesso: quando tu fai QFT in maniera algebrica l'idea e' di associare alle regioni dello spazio tempo l'algebra di osservabili su quella regione di spaziotempo. Fai questa operazione region-wise, chiedendo certe condizioni di compatibilita' quando una regione di spazio ne contiene un'altra e chiedi una condizione di "localita`" che e' prettamente relativistica. Regioni troppo lontane (=una fuori dal cono futuro dell'altra) non possono interagire. Questo si traduce nel fatto che algebre relative a regioni molto distanti (che vengono associate a regione dello spazio secondo una regola che mima la condizione di fascio, ma che a differenza di essa e' covariante) commutano tra loro. Tutto cio' era noto a partire da Haag, Kastler, Roberts, ossia i primi fisici a far entrare le tecniche della teoria dei fasci nella QFT.

Adesso, con Blute e il suo allievo Marc Comeau (giovane: la sua tesi di dottorato, che ho studiato quest'inverno, e' del 2010) la moda e' cambiata, e si cerca di categorificare questa nozione, associando alle regioni di spaziotempo non piu' algebre ma intere categorie. Regione per regione, avrai una funzione che ad ogni U aperto nello spazio di minkowski associa una categoria $C(U)$ e ogni volta che $U < V$ sono due aperti contenuti uno nell'altro, $C(U)$ e' contenuta in $C(V)$ (e' una "sottocategoria": l'idea e' la stessa di "sottospazio", "sottovarieta'" , "sottogruppo": sottoinsieme con struttura omonima).
Fosse cosi' facile! Ora infatti insorgono vari problemi; anzi, ce n'e' uno in particolare. Cosa vuol dire che se $U, V$ sono regioni "lontane", le categorie C(U), C(V) "commutano"? La risposta e' stata data da Blute e Comeau, nella tesi del secondo: il loro paradigma sembra particolarmente efficace per attaccare il problema di inserire considerazioni relativistiche nella quantum information, sostanzialmente perche', detta in modo rupestre, la comunicazione tra alice e bob avviene nello spaziotempo, ed e' quindi soggetta a effetti relativistici. Come modellizzarli all'interno del linguaggio per cui un protocollo di comunicazione quantistica e' un opportuno oggetto/morfismo di una categoria monoidale simmetrica? La risposta e': indeboliamo gli assiomi di categoria monoidale per ottenere una definizione che permetta di trattare le "categorie di Von Neumann" allo stesso modo in cui la AQFT ha come oggetto di studio cardinale le algebre di Von Neumann. Quando uno ci e' riuscito vengono fuori dei risultati simpatici, per esempio il fatto che riesco a definire una categoria ${\bf Hilb}_H$, i cui oggetti sono gli spazi di Hilbert, e i cui morfismi $X\Rightarrow Y$ sono morfismi $X\otimes H\to Y\otimes H$ per un fissato spazio $H$; a questo punto nulla vieta che le coordinate si "mescolino" tra loro, quando faccio agire $f$, o detto in altre parole non c'e' ragione per cui $f=\hat f\otimes 1_H$, per qualche $\hat f\colon X\to Y$. Questo succede se e solo se (udite udite) $f$ "commuta" con ogni altro morfismo $g$, secondo due opportune regole di composizione $\rtimes$ e $\ltimes$ che generalizzano il prodotto tensore di morfismi. Nella testa di chi ha dato la definizione, $H$ e' lo spazio di Hilbert "dell'ambiente" e tensorizzare $X,Y$ con esso significa "fare interagire $X,Y$ con l'ambiente in cui essi vivono"; allora $f$ e' della forma $\hat f\otimes 1_H$ se e solo se non interagisce con l'ambiente, se e solo se commuta (nel senso che abbiamo definito) con tutti gli altri morfismi. Affascinante, no?

Ci sono poi delle ragioni piuttosto profonde per cui trattare la questione a questo livello di generalita' e' la scelta giusta: un risultato di Selinger dice infatti che "the category of finite-dimensional Hilbert spaces is complete for this theory in the sense that an equation follows from the axioms of compact closed dagger categories if and only if it holds in finite-dimensional Hilbert spaces". Questo e' il lato semantico della "logica lineare" che ha attratto molti logici allo studio di MQ. Dove ci sono categorie monoidali c'e' in linea di principio la possibilita' di fare $\lambda$-calcolo :D
Una referenza scorretta perche' non la conosco bene: nello stesso anno, stesso ateneo (Ottawa), con un relatore, Selinger, che e' amico di Blute, il quale e' famoso per essere stato l'unico ad avere scritto una review presentabile sulla teoria astratta del calcolo grafico in categorie monoidali, si e' laureato Octavio Malherbe, uno coi controcazzi. Il suo lavoro e' reperibile qui, ma e' difficle anche per me leggere la sua tesi.

Mi faccio perdonare del mal di testa dandoti una referenza che mi sembra piu' onesta: l'ho scritta io per delle lezioni (click).
sepolti nella discussione, che ho cercato di mantenere a un livello assolutamente self-contained (h definito praticamente tutto!), ci sono un po' di insight che mi hanno dato le conversazioni con Blute, con un po' di gente qui e con la scuola trentina (Romeo Brunetti, che e' uno dei massimi esperti, non solo italiani, di AQFT, e W. Moretti). Buona lettura!

La teoria dei topos di cui si parlava all'inizio e' quanto di piu' vicino a questo paradigma fascio-teoretico: da tutt'altra parte vanno i lavori che (ad esempio) studiano mirror simmetry usando le categorie derivate e $A_\infty$, la teoria della quantizzazione (ho dei trascorsi piuttosto intensi con l'argomento: se vuoi approfondiamo), la monumentale Higher Algebra di Baez, e il suo studio (ad esempio) dei 2-gruppi, 2-spazi di Hilbert, e della loro teoria della rappresentazione; in una direzione un po' diversa va il lavoro dei geometri non commutativi, che lavorano in modo nascostamente categoriale usando la dualita' di Gel'fand non-commutativa: c'e' stato un grosso evento qualche mese fa: http://www.math.sissa.it/qgm13/abstracts.php ma io non sono andato perche' mi interessava (=avevo qualche coordinate per capire) solo un talk (A categorification of infinitesimal braidings, che e' legato, pure alla lontana, all'Higher Algebra di Baez). Questa linea di ricerca prende le mosse (anche) dal monumentale teorema di ricostruzione di Doplicher-Roberts, due fisici che sono riusciti dove i categoristi hanno fallito :D capisci come sia stato possibile per loro quando ne conosci almeno uno: Doplicher e' un simpatico vecchino dalla cultura gargantuesca, in qualsiasi ambito lo scibile umano abbia prodotto (tanto per dire: l'ho sentito parlare in italiano, inglese, cinese, sanscrito, latino, greco nella stessa conversazione).

Altro materiale dove puoi reperire informazioni e chiavi di ricerca e' in Introducing categories to the practicing physicist, di Coecke, oppure nel libro che lo stesso Coecke ha finito di scrivere l'altro ieri, un tomo inquietante di circa 1000 pagine intitolato in modo simile a "New structures in Physics". Altro ancora (quasi tutto) sta nei This Week Finds in Mathematical Physics di Baez, o in un solo post dedicato: http://www.math.ucr.edu/home/baez/categories.html
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il sab 4 mag 2013, 21:43

Sulla quantizzazione (canonica, non canonica, insomma quelle due acche che so). Tutto e' partito da una citazione che mi e' giunta alle orecchie: "First quantization is a mistery, but second quantization is a functor" (click), che detto in altri temini suona come qualcosa di simile a "Non esiste un funtore tra i sistemi classici e quelli quantistici". Mi sono allora chiesto: che diavolo vuol dire?

Un modo sensato di iniziare a farsi delle domande potrebbe essere capire quali sono le categorie in gioco. Un "sistema" quantistico è essenzialmente caratterizzato dal dato dello spazio di Hilbert dei suoi stati, ergo è quantomeno plausibile pensare che la categoria dei sistemi quantistici sia quella. Ma che ne è di quella dei sistemi classici? Uno e' abituato a pensare, avendo in mente l'esempio della quantizzazione algebrica alla Kontsevich e teoria della deformazione, che quale che sia la sua definizione, devo poter disporre di un funtore "quantizzazione canonica" tra le varieta' simplettiche/di Poisson, che commuta coi bracket (di Poisson a livello classico, di Lie a livello quantistico), e che manda lo spazio delle fasi di un sistema classico (in ultima istanza una particolare varietà simplettica) in uno spazio di Hilbert, lo spazio degli stati sopra detto. In buona sostanza, se la situazione e' questa, il problema si riduce a cercare un funtore che prenda l'algebra delle osservabili classiche, diciamo le funzioni regolari su un manifold onesto, $U\mapsto C(U)$, e mandi "open-wise" questo fascio in un fascio di algebre non commutative, ottenute deformando ogni $C(U)$ in una $C(U)[\![\hbar]\!]$; se questo si puo' fare (e l'ostruzione a farlo e' coomologica, ovvero omotopica, ovvero topologica in senso opportuno), il problema successivo e' preoccuparsi di come si comporta la serie formale in $\hbar$; si puo' fare (questo teorema e' valso a Kontsevich la sua medaglia, se non ricordo male) se $H^3(X)$, dove la coomologia e' quella di Chevalley, e' zero. Sulla convergenza non ho idea di quale sia lo stato dell'arte.

C'e' una formulazione alternativa mutuata da Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, e che si puo' ritrovare in Zafiris, Category-Theoretic analysis of the notion of complementarity for quantum systems, per cui la categoria dei sistemi classici e' la categoria dei lattici [Boolean event algebras] e quella dei sistemi quantistici [Quantum event algebras] quella dei lattici arricchiti di una operazione di ortocomplementazione (in tal modo il reticolo dei sottospazi _chiusi_ di uno spazio di Hilbert -lo spazio degli stati-, che e' in modo naturale ortocomplementato, viene recuperato). Tuttavia questo approccio logico-fondazional-probabilistico mi e' sempre risultato indigesto e piuttosto macchinoso, oltre che molto meno elegante di quello geometrico (ignoro al momento quale dei due sussuma l'altro, se e' vero che sono in relazione).

In un thread su MathOverflow.net: http://mathoverflow.net/questions/8606/ ... eally-mean viene trattata la questione al meglio delle conoscenze della comunita' degli esperti. Per quel che vale, conosco telematicamente molta della gente che ha risposto, Pavel Etingof e' al MIT e mi sembra in linea con la "scuola russa" di categoristi-algebristi-fisicomatematici tipo Kazhdan, Gelaki, Varchenko, Kirilov, Nicolai Reshetikhin (ognuno di loro ha dato contributi di evidente spessore alla definizione, classificazione e tassonomia dei quantum groups, delle correlazioni tra geometria algebrica -e persino TdN, nella persona di Yurij Manin- e fisica).

E' gente che quindi fa un po' di tutto: Johnson-Freyd, quello che ha fatto la domanda, secondo me e' davvero bravo, si e' dedicato per tanti anni a matematizzare dei buchi nel formalismo dei diagrammi di Feynman, roba che tutti usavano a cuor leggero senza pero' avere una teoria dietro le spalle, e pare ci sia riuscito; i diagrammi di Feynman sono interessanti, poi, perche' si possono organizzare in una categoria, e farlo riesce a far "vedere" per analogia per quale motivo la notazione di Penrose per il calcolo tensoriale coi "ragnetti" funziona (se non sai si cosa sto parlando http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_graphical_notation ).
Ho parlato un po' di queste cose: per le topological quantum field theories ho tenuto questo seminario-studenti la scorsa primavera http://ubuntuone.com/23tyzvprzvwa3bsPUqMyXy e in una nota mai pubblicata perche' scritta troppo male; veniva comunque nella quasi totalita' dal libro Quantum invariants of knots and 3-manifolds di Vladimir Turaev (sul sito library genesis e' scaricabile, ma e' un tomo di circa 600 pagine che sfiora il delirio di onnipotenza categorial-rappresentazion-teoriadeinodico).

Per il teorema di Kontsevich invece una esposizione molto lucida ma che ci vuole comunque animo per digerire e' in questo articolo di Bernhard Keller http://www.math.jussieu.fr/~keller/publ/emalca.pdf l'ho letta mesi fa ripromettendomi di riscrivermela in modo chiaro ma non ho mai avuto tempo.

Infine, un articolo citato in qualsiasi paper che affronta la quantizzazione in fisica e' il classico di Berezin, "General Concept of Quantization", che non si trova liberamente in internet ma che e' provvisto da porjecteuclid http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1103860463
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il sab 4 mag 2013, 21:44

Mi offrissero una birra per ogni volta che faccio queste cose...
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda Domenico422 il dom 5 mag 2013, 12:59

Grazie diecimila! In realtà te ne offrirei pure tre di birre, ma poi avrei paura che per colpa dell'alcol ti dimenticassi delle informazioni necessarie per rispondere alle mie future domande e quindi reagissi così: :wacko: .
Comunque, \bf grazie!
Ultima modifica di Domenico422 il dom 5 mag 2013, 13:25, modificato 1 volta in totale.
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il dom 5 mag 2013, 13:24

Domenico422 ha scritto:Grazie diecimila! In realtà te ne offrirei pure tre di birre, ma poi avrei paura che per colpa dell'alcol ti dimenticassi delle informazioni necessarie per rispondere alle mie future domande e quindi reagissi così: :wacko: .
In ogni caso \bf grazie!

Stella di papa', sono veneto di nascita ed educazione: abbiamo il primato intergalattico di cirrosi epatiche.
Percio' divento solo piu' ciarliero con tre birre. Con cinque solitamente succede che cerco di limonare "la piu' carina della festa" (le virgolette si leggano come: se l'avessi vista da sobrio avrei capito che era un gabinetto) col suo ragazzo di fianco (aneddoto realmente accaduto: ma me le aveva offerte lei, volevo ringraziarla). :D

Torniamo a discorsi seri: se mi indirizzi meglio su cio' che ti interessa riesco a dirti se so aiutarti o no. Ovviamente io ti ho detto (male) solo una lieve porzione della punta dell'iceberg. QFT algebrica? Topologica? Fondamenti? Alla teoria dei topos sono piuttosto interessato anche io, se ne puo' riparlare.
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda Domenico422 il dom 5 mag 2013, 13:43

killing_buddha ha scritto: Alla teoria dei topos sono piuttosto interessato anche io, se ne puo' riparlare.

Ma certo!!!La teoria dei topoi è la mia preferita parte della teoria delle categorie!Grothendieck, per me è sempre stato la "luce" della teoria delle categorie!!
Inoltre, per ringraziarti dei tuoi messaggioni e se ti piace ascoltare Albano tieni.
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il dom 5 mag 2013, 13:50

Allora ti potrebbe interessare la prima parte di quest'altra lezione che ho fatto la settimana scorsa: http://ubuntuone.com/6XESTmTx4R3xq0Bd3FyHYh
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il dom 5 mag 2013, 13:54

Incidentalmente, preferisco altro tipo di musica http://www.youtube.com/watch?v=6Ki2R9OieiY
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Messaggioda Domenico422 il lun 6 mag 2013, 17:32

Riguardo a Topological quantum field theory o Algebric quantum field theory, trovo molto più interessante la TQFT, se mi vuoi consigliare un sito o mi vuoi spiegare a riguardo come hai fatto precedentemente con i tuoi giganteschi messaggi, per me va bene. :mrgreen: :D
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il mar 7 mag 2013, 15:46

Nel'attesa di risponderti, ti segnalo l'ultimo libro di Robert Coecke, pubblicato al numero 813 delle Lecture Notes in Physics da Springer-Verlag. Compralo, ne vale la pena perche' e' il primo a raccogliere con tanta sistematicita' cosi' tanta bibliografia sull'argomento.

New Structures for Physics
-------------------------------

Part I An ABC on Compositionality
1 (S. Abramsky and N. Tzevelekos) Introduction to Categories and Categorical Logic
2 (J. Baez and M. Stay) Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone
3 (B. Coecke and É.O. Paquette) Categories for the Practising Physicist

Part II Manifestations of Linearity
4 (P. Selinger) A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories
5 (E. Haghverdi and P. Scott) Geometry of Interaction and the Dynamics of Proof Reduction: A Tutorial

Part III More Example Applications
6 (R. Blute and P. Panangaden) Dagger Categories and Formal Distributions
7 (R. Blute and P. Panangaden) Proof Nets as Formal Feynman Diagrams
8 (J. Lambek) Compact Monoidal Categories from Linguistics to Physics

Part IV Informatic Geometry
9 (K. Martin) Domain Theory and Measurement
10 (B. Coecke and K. Martin) A Partial Order on Classical and Quantum States

Part V Part V Spatio-Temporal Geometry
11 (K. Martin and P. Panangaden) Domain Theory and General Relativity
12 (B.J. Hiley) Process, Distinction, Groupoids and Clifford Algebras: an Alternative View of the Quantum Formalism
13 (Doring-Isham) “What is a Thing?”: Topos Theory in the Foundations of Physics
14 (P. Hines) Can a Quantum Computer Run the von Neumann Architecture?
15 (P. Panangaden and É.O. Paquette) A Categorical Presentation of Quantum Computation with Anyons
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