Il misterioso tripode della QFT

Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda killing_buddha il sab 23 feb 2013, 20:44

E' un po' come se un matematico dicesse "mi interesso di geometria".

Mi occupo della Teoria quantistica dei campi

...oppure potrebbe interessarti la matematizzazione del tripode BSH (Bohr-Schrodinger-Heisenberg):

    \xymatrix{
& \text{Bohr} \ar@<3pt>[dr]\ar@<3pt>[dl]& \\
\text{Schr\"odinger} \ar@<3pt>[rr]\ar@<3pt>@{.>}[ur]^? && \text{Heisenberg} \ar@<3pt>@{.>}[ll]^? \ar@<3pt>@{.>}[ul]^?
}
Sistematizzare la visuale di Heisenberg e' compito della assiomatica di Araki-Haag-Kastler, che ha portato negli anni '60 al modello noto come Algebraic Quantum Field Theory [1]. Questi assiomi, che sono il tentativo piu' antico di formalizzare matematicamente la QFT, ultimamente sono stati ripresi in mano con strumenti leggermente piu' evoluti (stacks, categorie fibrate e descenza, analisi microlocale, ... [2]) e sono culminati in una assiomatica leggermente piu' potente, quella di Brunetti-Fredenhagen [3]. Un altro tentativo piuttosto allettante e' sposare la AQFT classica con le idee della scuola di Oxford di Coecke e Grefenstette: ne ho parlato qui, e un contatto privato con Richard Blute ha confermato che e' praticamente terra vergine, non ci sta lavorando sul serio praticamente nessuno.

Sistematizzare la visuale di Schrödinger e' compito delle FQFT[4] di Atiyah-Segal, che sono state collegate alle precedenti da un articolo (matematicamente) molto valido di Schreiber [5]. L'idea e' piu' o meno che ad opportune varieta' senza bordo si associno spazi vettoriali, e a varieta' che sono cobordanti a queste si associno delle applicazioni lineari (teorie topologiche)/conformi (teorie conformi)/altro (...) in modo da rispettare le proprieta' di cucitura di cui gode il path integral. Trovi tutto, scritto meglio di come potrei fare io, sulla pagina di nlab. Questa e' la parte higher-mathematics della faccenda, perche' dentro la categoria delle varieta' che vuoi considerare ci sono un sacco di informazioni omotopiche da tenere a mente, e nascono senza nemmeno accorgersene strutture come queste. Essendo tu interessato alle teorie di Chern-Simons probabilmente sei interessato alla loro estensione a "teorie topologiche completamente estese" secondo Lurie. Realizzare tali teorie di campo completamente estese e' un problema aperto piuttosto interessante. C'entra dentro Langlands, tanto per dire una delle mille keywords legate a TQFT. Trovi molte informazioni su arXiv:0905.0465 e arXiv:0905.0731v2.

Sistematizzare la visuale di Bohr e' una cosa piuttosto nuova, che non e' stata correlata alle precedenti due in un modo preciso se non in lavori piuttosto recenti, che partono dalle prospettive piu' disparate (logica, quantum computation, geometria algebrica e teoria dei topos) per cercare una traduzione della AQFT in ambito topos-teoretico. L'articolo da cui tutto e' partito e' A globalisation of the Gel'fand duality theorem, di Banaschewski e Mulvey, che offre una internalizzazione della dualita' di Gel'fand in un qualsiasi topos abbastanza well-behaved. Se ti interessa possiamo parlarne, e' un work-in-progress sia per loro che per me.

Moralmente, le tre visuali sono solo modi differenti di guardare la stessa fisica, quindi dovrebbero dare luogo a modelli "equivalenti" e sarebbe interessante correlare quello sopra ad altri tripodi (o tetraedri, cubi, tesseratti) "cosmici" [6], come ad esempio il triangolo di equivalenze aggiunte relative a uno spazio topologico X:

    \xymatrix{
& \text{Sh}(X) \ar@<3pt>[dr]\ar@<3pt>[dl]& \\
\text{\&#39;Et}(X) \ar@<3pt>[rr]\ar@<3pt>[ur] && \mathcal O(X)\text{-Sets} \ar@<3pt>[ll] \ar@<3pt>[ul]
}
Per il momento, dove ci sono i punti di domanda e le freccine tratteggiate, esistono nessuno o un numero imbarazzante di modi diversi di cercare di costruirle. Come diceva il succitato Schreiber
There are some indications that such higher categorical structures, such as those appearing in groupoidification, are essential for clarifying some of the mysteries of quantum field theory, such as the path integral. While this is far from being clarified, this is what motivates research in higher categorical structures in QFT.

Ours is the age to figure this out.
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Messaggioda killing_buddha il sab 23 feb 2013, 21:16

Come commenti a latere:

  • Quel che ho scritto suona certamente incomprensibile piu' del solito: l'alta dose di handwaving e' dovuta (anche) al fatto che si tratta di cose per cui persino le domande ovvie sono problemi aperti. Accetto complementi e richieste di spiegazioni.
  • Proprio perche' e' cosi' raro trovare qualcuno cui interessano cose higher, ti avevo scritto privatamente, mi hai ricevuto?
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Messaggioda Fedecart il dom 24 feb 2013, 11:51

killing_buddha ha scritto:...oppure potrebbe interessarti la matematizzazione del tripode BSH (Bohr-Schrodinger-Heisenberg):
    \xymatrix{
& \text{Bohr} \ar@<3pt>[dr]\ar@<3pt>[dl]& \\
\text{Schr\"odinger} \ar@<3pt>[rr]\ar@<3pt>@{.>}[ur]^? && \text{Heisenberg} \ar@<3pt>@{.>}[ll]^? \ar@<3pt>@{.>}[ul]^?
}


Cosa intende un matematico con "visuale di Schroedinger", "visuale di Heisenberg" e "visuale di Bohr"?

Chiedo perchè dubito che intendiamo la stessa cosa. Infatti (per un fisico) all'interno della QM e della QFT "visuale di Schroedinger" e "visuale di Heisenberg" hanno un significato ben preciso. Tuttavia non ho mai sentito "visuale di Bohr", e invece si usa tantissimo (specialmente per costruire il famoso sviluppo perturbativo in diagrammi di Feynman) la "visuale di interazione/di Dirac" che tu non nomini.

Da un punto di vista fisico:
La visuale di Schoredinger è un'approccio alla meccanica quantistica in cui gli stati evolvono con il tempo e gli operatori no. E' una sorta di "trasformazione attiva": l'osservatore è immutato col tempo ma il sistema evolve.
La visuale di Heisemberg è un approccio in cui gli stati non evolvono con il tempo e gli operatori si. E' più una "trasformazione passiva": il sistema è immutato neltempo ma l'osservatore evolve.
La visuale di Dirac/di interazione la usi solo quando hai un potenziale di interazione dipendente dal tempo, e sia gli stati che le osservabili evolvono con il tempo in modo complementare. E' una via di mezzo tra le precedenti.

Immagino che tu queste cose le sappia bene, quindi ti chiedo se intendi queste visuali qui, e se "visuale di Bohr" è un modo con cui i matematici/fisici matematici chiamano la visuale di interazione/dirac, oppure intendi delle cose completamente diverse.

Inoltre, (ma qui è ignoranza personale) non credevo ci fossero tentativi diversi di formalizzare la QFT a seconda della visuale in cui ti poni. Infatti, da un punto di vista fisico, sono tutte e tre facilmente equivalenti, come del resto dici giustamente tu in
killing_buddha ha scritto:Moralmente, le tre visuali sono solo modi differenti di guardare la stessa fisica, quindi dovrebbero dare luogo a modelli "equivalenti"
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Messaggioda killing_buddha il dom 24 feb 2013, 23:14

dubito che intendiamo la stessa cosa

Invece intendo esattamente la stessa cosa: la visuale per cui sono gli stati ad evolvere e' modellata matematicamente dai cobordismi, che rappresentano l'evoluzione nel tempo del sistema, dallo stato iniziale (il dominio del cobordismo) a quello finale (il codominio):

Immagine

Nella visuale di Heisenberg sono gli operatori a cambiare, e ci si concentra sulle algebre dei suddetti che si possono definire sullo spaziotempo; questo e', in ultima istanza, un (pre-co)fascio di algebre sullo spazio di Minkowski o sulla tua varieta' lorentziana preferita. Questi coprefasci non sempre sono cofasci[1]; ignoro se la cosa sia stata studiata oltre l'ultima referenza che ho, di M. Mueger, che ha dimostrato che su varieta' lorentziane di dimensione 2, la condizione di cofascio segue dalla dualita' di Haag[2].

La visuale (o dottrina) di Bohr, un'altra volta, ho sonno. L'idea e' questa:
[It] states that nonclassical/noncommutative as the logic/geometry of quantum mechanics may be, it is to be probed and detected by classical/commutative logic/geometry.
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Messaggioda Fedecart il dom 24 feb 2013, 23:56

Scienziatopazzo ha scritto:Sì.Io mi interesso e mi occupo di queste due questioni, che nella meccanica quantistica e in particolare nella QCD hanno una grande rilevanza.Io sono un ricercatore che lavora in questo ambito da ormai tre anni.


Ottimo! Perchè è roba che interessa anche a me. A dir la verità il secondo problema no. Però il primo problema si...
Dunque, lavorando da 3 anni su questo avrai sicuramente scritto qualche articolo. Posso leggerlo? Immagino si trovi su arxiv.
Se vuoi linkami qualcosa, magari qui o per mp. Oppure dimmi chi sei e trovo io!

killing_buddha ha scritto:Il punto e' che se fisicamente l'equivalenza e' ovvia, matematicamente non lo e'.


Comprendo questo punto, ovvero che per un matematico ogni cosa vada dimostrata, e se una dimostrazione di un fatto "fisicamente ovvio" non c'è, ad un analisi rigorosa/matematica quel fatto fisicamente ovvio rimane una congettura. Fin qui tutto dovuto. E' in questo modo che si procede se si vuole far diventare solido qualcosa e assiomatizzarlo: dimostrando ogni singola affermazione.

Continuo però a non capire se con Visuale di Bohr intendi quella che in fisica di chiama Visuale di Interazione/Di Dirac, oppure se in questo caso stai parlando di qualcos'altro, che ignoro.
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Messaggioda killing_buddha il lun 25 feb 2013, 0:00

C'e' un link alla pagina di nlab.

L'idea e' che ad un sistema quantistico, ossia alla C*-algebra A degli operatori continui sul suo spazio di Hilbert, si possa associare un topos, ossia una categoria di prefasci di insiemi che assegnano ad ogni elemento di un certo poset un insieme, secondo il paradigma per cui per quanto la logica/geometria della Meccanica Quantistica sia intrinsecamente non classica, essa è approssimabile, localmente, ad un sistema classico. Solitamente si interpreta il comportamento classico con un processo di media su un gran numero di eventi quantistici, che nel complesso sommano a un comportamento classico; ora l’idea è che vediamo un comportamento classico quando osserviamo “localmente” il modello matematico che descrive il sistema, allo stesso modo in cui una varietà è localmente indistinguibile da uno spazio euclideo. Esiste, per voler fare un paragone suggestivo, una sorta di proporzionalità inversa tra la generalità del modello formale di sfondo al sistema e la classicità del comportamento fisico che il sistema stesso acquisisce, in modo tale che quello che nel mondo osserviamo a piccole scale e' quantistico, e nel modello matematico corrisponde a una visuale global (topos-teoretica / noncommutativa / basata su una logica non-booleana), e quello che osserviamo a grandi/umane scale e' classico, e nel modello corrisponde ad una visuale local (insiemistica, basata su una logica booleana e su geometrie commutative).

Detta meglio, il legame commutativo = locale, noncommutativo = globale non e' avventato, per quel che sto per dire sul poter ottenere un'algebra noncommutativa come limite diretto delle sue sottoalgebre commutative: il poset e' fatto dalle sottoalgebre commutative di A, che corrispondono, secondo il paradigma per cui

    \left\{\begin{smallmatrix}
\text{meccanica} \\
\text{classica}
\end{smallmatrix}\right\}
\iff  
\left\{\begin{smallmatrix}
\text{geometria} \\
\text{commutativa} 
\end{smallmatrix}\right\}
\iff 
\left\{\begin{smallmatrix}
\text{logica classica} \\
\text{(booleana)} 
\end{smallmatrix}\right\}
\iff
\left\{\begin{smallmatrix}
\text{insiemi}
\end{smallmatrix}\right\}
    \left\{\begin{smallmatrix}
\text{meccanica}\\
\text{quantistica}
\end{smallmatrix}\right\}
\iff 
\left\{\begin{smallmatrix}
\text{geometria} \\
\text{non commutativa} 
\end{smallmatrix}\right\}
\iff 
\left\{\begin{smallmatrix}
\text{logica}\\
\text{non booleana}
\end{smallmatrix}\right\}
\iff 
\left\{\begin{smallmatrix}
\text{topos }
\end{smallmatrix}\right\}
alle approssimazioni classiche del sistema in studio. A opportune ipotesi, A si recupera come colimite delle sue sottoalgebre commutative, e allora non c'e' informazione perduta. La categoria dei funtori \mathcal C(A)\to \bf Sets e' il topos di Bohr del sistema quantistico in studio, e alcune sue proprieta' categoriali sono traduzioni 1-1 di proprieta' fisiche del sistema [1], oppure alcuni teoremi classici di tipo no-go si possono scrivere in termini di proprieta' categoriali del topos[2].

[1] Schreiber ha dimostrato che il funtore dallo spazio di Minskowski alla 2-categoria dei topoi U\mapsto C^\infty(U)\mapsto \text{Bohr}(C^\infty U) e' uno stack di topoi se e solo se viene soddisfatto l'assioma di localita' di Einstein nel senso delle AQFT
[2] Il teorema di Gleason o di Kochen-Specker, ad esempio. Nel link di nlab c'e' tutto.
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Messaggioda Fedecart il lun 25 feb 2013, 1:12

Questo discorso, e specialmete il punto chiave che è

killing_buddha ha scritto:La categoria dei funtori \mathcal C(A)\to \bf Sets e' il topos di Bohr del sistema quantistico in studio, e alcune sue proprieta' categoriali sono traduzioni 1-1 di proprieta' fisiche del sistema


l'ho capito abastanza, anche se non so bene cos'è un topos (lo penso sostanzialmente da un lato come una categoria con un certo tot di proprietà belle in più, dall'altro come una generalizzazion edel concetto di insieme).
Questa è una cosa abbastanza illuminante in realtà. Non c'entra assolutamente niente con la visuale di Dirac che intendevo io allora, ed in qualche senso è MOLTO di più. E molto molto più interessante anche delle formalizzazione delle QFT nelle due visuali di Schroedinger e Heisenberg.
Questo sembra un modo completamente diverso per fare meccanica quantistica!!

Infatti, riprendendo quello che scrivi tu
killing_buddha ha scritto:Solitamente si interpreta il comportamento classico con un processo di media su un gran numero di eventi quantistici, che nel complesso sommano a un comportamento classico; ora l’idea è che vediamo un comportamento classico quando osserviamo “localmente” il modello matematico che descrive il sistema, allo stesso modo in cui una varietà è localmente indistinguibile da uno spazio euclideo.


non solo è vero, ma posso assicurarti che in fisica (o almeno in quella parte ridottissima della fisica che conosco io) non c'è un modo "geometrico" come questo per passare dal quantistico al classico, analizzando localmente qualcosa di globale. E anzi, questo è proprio il "capovolgimento di prospettiva" che alcuni fisici teorici più attenti alla fondazioni matematiche della MQ con cui ho parlato auspicano: mettere al centro qualcosa di globale/quantistico e ritrovarne il classico/locale come un caso particolare.

Allora quello che ha fregato tutti per anni è forse il fatto che globale e locale come li ho intesi nella frase di sopra non c'entrano nulla con il grende e piccolo della vita di tutti i giorni. C'entrano con il grande/piccolo del modello che usiamo per descriverli!
Non so se riesco a esprimermi bene. Vado a dormire così per oggi evito di straparlare ancora.
Domani mi leggo l'nlab. Ciao e grazie.
Ultima modifica di Fedecart il lun 25 feb 2013, 1:22, modificato 3 volte in totale.
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Messaggioda killing_buddha il mar 26 mar 2013, 18:50

non credevo ci fossero tentativi diversi di formalizzare la QFT a seconda della visuale in cui ti poni. Infatti, da un punto di vista fisico, sono tutte e tre facilmente equivalenti

Il punto e' che se fisicamente l'equivalenza e' ovvia, matematicamente non lo e'. A priori, sapendo solo cosa sono, diresti che \text{Sh}(X)\cong \text{\&#39;Et}(X)? Eppure quell'equivalenza c'e'. Allo stesso modo ci sono dei comportamenti interessanti tra le due QFT assiomatiche (topologica e algebrica) e la teoria dei topos di Bohr; per esempio nell'articolo di prima Schreiber ha dimostrato che esiste un (2-)funtore \text{TQFT}\to \text{AQFT}.
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Messaggioda killing_buddha il mar 26 mar 2013, 18:53

Una conversazione con Sergio Doplicher mi ha fatto rivedere parte di quel che ho scritto qui: da quello che ho capito l'interpretazione filosofica del paradigma di Bohr come lo intendevamo leggendo nlab e' "sbagliata", nella misura in cui MQ e' una teoria che emerge nel non-solo-infinitamente-piccolo; ci sono tutta una serie di esempi (la radiazione di fondo dell'universo, il comportamento di pezzi di superconduttore, etc.) che mostrano che cose molto grandi possono esibire un inerente natura quantistica. Mi stupisco di non averne sentito menzione da parte dei ficisi di qui :D

Piuttosto il paradigma e': "cio' che e' fisicamente quantistico in una logica classica diventa fisicamente classico se internalizzato in un topos (non booleano)."
E' come se tu chiedessi: da qualche parte devi mettere una logica non-booleana / una geometria non-commutativa, perche' il mondo e' inerentemente nonclassico. Stante questo per fortuna hai un po' di liberta': dove preferisci che stia il lato non classico della faccenda? Se vuoi fare fisica in Sets, allora devi rassegnarti a osservare i comportamenti controintuitivi della materia modellizzandoli con la geometria noncommutativa. Se Bill (non Gates, l'altro) ci ha insegnato bene la lezione e ti metti in un adeguato topos, descrivere il tuo sistema con una C*-algebra noncommutativa equivale a descrivere il tuo sistema con una C*-algebra interna al topos, che e' commutativa per una pura tautologia Kripke-semantica. Ora, le C*-algebre commutative interne corrisponderanno (via la dualita' di Gel'fand interna al topos, costruita da Banaschewski e Mulvey) ad uno spazio (o meglio a un locale, che e' il locale degli aperti di uno "spazio") interno al tuo topos. Questo spazio si spera codifichi la tua fisica, ed e' a buon diritto LO spazio del sistema che studi, perche' tutto quello che hai fatto finora profuma di canonicita'.
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Re: Il misterioso tripode della QFT

Messaggioda Domenico422 il sab 4 mag 2013, 17:16

Chiedo a tutti, ma soprattutto a Killing_buddha:
in quali altri settori della MQ si applica la teoria delle categorie?
Domenico422
 
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