Problema Relativistico

Relatività Ristretta, Relatività Generale e Cosmologia

Problema Relativistico

Messaggioda stelirem il ven 8 mag 2009, 14:57

Salve a tutti i frequentatori del Forum,
vorrei esordire con un quesito che sottopongo agli esperti:
Abbiamo, nello spazio vuoto, due punti materiali di massa m distanti tra loro r. Al tempo t=0 sono in quiete.
Per effetto dell'attrazione gravitazionale iniziano a muoversi l'uno verso l'altro.
Prendendo come sistema di riferimento inerziale un asse cartesiano con origine nel punto medio della distanza r che li separa al tempo t=0 ed x la distanza al tempo t dall'origine sapete esprimere:
x=f(t)
considerando le trasformazioni di Lorentz?
Inoltre, secondo voi, esistono valori di m e di r tali che la velocità dx/dt--> C

Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno.

Stefano
stelirem
 
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Messaggioda rrronny il lun 13 lug 2009, 17:27

Benvenut*, stelirem.

Se un po' ti guardi intorno, riconoscerai che il livello medio dei problemi discussi da queste parti è relativamente alto. Non si tratta di un fatto casuale, ma di una precisa scelta editoriale, per cui si è stabilito di prediligere la qualità alla quantità. Lo scopo di queste pagine, infatti, è di radunare semplici appassionati o veri e propri cultori di diversi settori scientifici, per dare libero sfogo alla loro creatività. In particolare, le finalità del forum non includono né il tutoring né tanto più lo svolgimento dei compiti per casa. Non per pigrizia, né per cattiveria, ma nella ferma convinzione (ampiamente condivisa dalla comunità) che il sudore è sempre ripagato, e non esistono scorciatoie alla conoscenza. Per queste ragioni, la discussione verrà presto trasferita altrove e sparirà, di conseguenza, dalla board dove attualmente si trova. In ogni caso, puoi provare ad utilizzare la funzione di ricerca interna per risalire ad altri thread, che affrontano, in un modo o nell'altro, questioni vicine allo spirito del tuo problema. Oppure, in ultima battuta, rivolgerti altrove.

Buona permanenza,
Roberto

P.S.: Alle domande che hai posto si risponde banalmente utilizzando la versione relativistica del secondo principio della dinamica: \vec F=\frac{d\vec P}{dt}, dove \vec P=\gamma m\vec v.
"Realtà virtuale", "social network", "realtà aumentata"? Io parlerei di "solitudine aumentata", quella che percepisci anche stando in mezzo agli altri, e che occorre della tecnologia per appianarla.
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Messaggioda Gianmarco il ven 2 ott 2009, 15:56

E' indubbiamente vero e semplice quanto ha detto laconicamente Rrroney, e tuttavia quale F?

C'è da dire che il problema delle particelle interagenti è sempre un serissimo problema in relatività ristretta, proprio a causa della tentazione di applicare a sproposito Okkham, senza volere aggiungere la complicazione che le azioni a distanza non esistono (perchè non possono esistere in forma covariante a meno di introdurre tachioni ed altre sofisticate scappatoie ai paradossi di causalità che ne derivano, ma anche in tal caso i risultati sono più complicati di quanto si possa ingenuamente immaginare costringendo a riforme teoriche comunque ben più radicali della relatività ristretta).

Consideriamo un sistema interagente tale che il risultato delle interazioni sia che le due masse si muovono in modo simmetrico in un riferimento nel quale sono inizialmente in quiete, talchè risulta che il centro di massa è il punto medio ed è fermo. Per effetto del cambiamento di riferimento la definizione del centro di massa cambia. Il punto chiave è che la definizione classica di centro di massa non è una nozione relativisticamente invariante per trasformazioni di galileo, per capire quel che succede:

[asy]draw((0,0)--(200,0),Arrow); draw((100,0)--(100,100),Arrow);draw((150,0)--(170,50)--(200,100));draw((50,0)--(30,50)--(0,100));draw((50,0)--(200,30));draw((0,16)--(200,56));draw((0,44)--(200,84));draw((0,60)--(200,100));[/asy]

consideriamo questo semplice schema unidimensionale con lo spazio in ascissa ed il tempo in ordinata, in cui sono riportate la curve orarie simmetriche nel riferimento di quiete, di due particelle che si allontanano e su cui agiscono, simultaneamente due forze impulsive (potrebbero anche essere forze costanti e gli angoli apparirebbero arrotondati ma la sostanza non cambia) E' evidente che la figura può essere completata con semplicità aggiungendo, alla linea oraria, coincidente con l'asse dei tempi, del centro di massa in questo riferimento, la linea oraria del centro di massa in un riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a quello rappresentato, e del quale ho riportato quattro linee isocrone. E' immediatamente evidente che risulta una nuova linea oraria composta da tre tratti di spezzata. Solo il primo e l'ultimo tratto risultano paralleli fra loro ed alla linea oraria del centro di massa nel riferimento originale, e con velocità apparente uguale e contraria alla velocità del riferimento in moto. Mentre nel tratto fra le due isocrone intermedie il centro di massa relativo al riferimento in moto si muove.

Per quanto riguarda la cinematica non c'è altro da aggiungere. Per quanto riguarda la dinamica guardiamo al bilancio energetico fra "prima e dopo" l'interazione. In questo caso quello che si nota è che poichè la massa invariante del centro di massa è data dal quadrato del quadri-impulso che risulta avere impulso nullo nel riferimento originale sia nel primo che nell'ultimo tratto, poichè l'energia cinetica delle parti è aumentata deve essere al contempo aumentata la massa invariante del centro di massa. Quali sono i punti critici di questa osservazione, quali sono gli assunti classici impliciti nel discorso?

1) in un sistema chiuso vige un principio generale di azione-reazione tale che l'impulso del centro di massa si conserva, mentre l'energia cinetica totale può variare.

2) in un sistema chiuso è possibile proporre, per effetto del punto 1) e della esistenza di un tempo assoluto, un sistema di coordinate relative al centro di massa, e di conseguenza un modello di genesi delle forze che dipende solamente dalle coordinate relative al centro di massa. Inoltre risulta verificato, nel modello di Newton che queste forze sono il gradiente di un potenziale, in modo che è sempre lecito parlare di energia totale risulta conservata.

Si osservi che dal punto di vista classico entrambi gli assunti sono verificati anche per il nostro sistema, infatti in una dimensione ogni campo di forze è conservativo. Qual'è allora il problema introdotto da principio di relatività ristretta? Venendo a mancare un tempo assoluto non è più in alcun modo possibile parlare di un principio di azione reazione, esteso a coppie di punti che non siano a contatto fisico, che sia verificabile in ogni sistema di riferimento, quindi: dal momento che l'esperienza convalida il principio di equivalenza è necessario abbandonare il principio di azione reazione. E cosa ne è del principio di conservazione dell'energia? Tutta la storia della fisica fra la fine del settecento e la fine dell'ottocento ha combattuto con questo dilemma, ancora prima che si giungesse alla formulazione della relatività ristretta, dividendosi fra il partito dei Lavoisieristi, ed il partito degli scettici. Ad ogni modo la fine dell'ottocento e la formulazione della teoria della relatività sancì un innegabile successo per il partito della conservazione dell'energia, ad un patto, che il principio di azione e reazione si applicasse solamente come principio di contatto. In questo modo ha potuto essere formulata una teoria covariante dell'elettromagnetismo: rinunziando al principio di azione a distanza ed introducendo la nozione di campo conservativo.
Gianmarco
 
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