Analisi orientazionale in Relatività Ristretta

Relatività Ristretta, Relatività Generale e Cosmologia

Analisi orientazionale in Relatività Ristretta

Messaggioda rrronny il dom 27 set 2015, 23:52

Più che un problema stricto sensu, pubblico qui un'idea da verificare e approfondire. In Fisica e altrove in scienza è prassi comune il controllo dimensionale delle espressioni; meno nota è l'analisi orientazionale (v. qui). Quest'ultima è utile per le quantità adimensionali, come angoli e funzioni trigonometriche. È naturale attribuire a un angolo \theta nel piano euclideo e a \sin{\theta} un orientamento \uparrow (cfr. qui); qui non importa definire una direzione particolare. Similmente, le grandezze che si trasformano come \cos{\theta} le considereremo non-orientate \,\odot. Valgano le seguenti proprietà, dove le operazioni sono ereditate da quelle consuete in \Bbb{R}:

    \displaystyle \forall n \in \Bbb{Z}, \>\> \odot^n=\odot; \>\> \uparrow^{2n}=\odot;\>\> \uparrow^{2n+1}=\uparrow; \>\>  \sqrt[2n]{\odot}=\uparrow; \>\> \sqrt[2n+1]{\odot}=\odot.
Passiamo ora alla Fisica. In Relatività Speciale, molte relazioni si possono parametrizzare mediante i coefficienti \beta:=v/c e \gamma:=(1-\beta^2)^{-1/2}, dove v è la velocità relativa fra due sistemi di riferimento inerziali e c è la velocità della luce nel vuoto. Sappiamo che è sempre v \le c, per cui è lecito eseguire una riparametrizzazione ponendo \beta=\cos{\theta} e \gamma=(\sin{\theta})^{-1}, con \theta \in [0,\pi/2].

Ora, è lecito assumere formalmente che \beta \approx \odot e \gamma \approx \, \uparrow. L'idea di questa costruzione è che ogni relazione debba necessariamente rispettare l'orientamento; per esempio, affinché si conservi il senso fisico complessivo, si possono sommare fra loro solo grandezze col medesimo orientamento; inoltre, l'argomento di funzioni come esponenziali o logaritmi deve essere non solo adimensionale ma anche non-orientato.
È immediato verificare che, per quanto riguarda le grandezze fisiche (tempo, componenti del campo elettromagnetico, ecc.), esse possono cambiare orientamento passando da un Sistema di Riferimento a un altro, ma il tutto è comunque consistente.

Fra le applicazioni più interessanti, almeno sul piano didattico, ci potrebbe essere la caratterizzazione di alcuni termini della formula di Bethe:

    \displaystyle -\frac{dE}{dx} = 4 \pi N_e r^2_e m_e c^2 \frac{z^2}{\beta^2}\left(\ln{\frac{2m_e c^2\beta^2 \gamma^2}{I}-\beta^2-\frac{\delta(\gamma)}{2}}\right)
Affinché l'orientamento sia rispettato, possiamo affermare immediatamente che i termini I e \delta devono essere di tipo \odot.

Quesito. Oltre a formalizzare l'idea, ci si potrebbe chiedere: l'orientamento ha un significato fisico?
"Realtà virtuale", "social network", "realtà aumentata"? Io parlerei di "solitudine aumentata", quella che percepisci anche stando in mezzo agli altri, e che occorre della tecnologia per appianarla.
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