Semplificazione del fattore di Lorentz

Relatività Ristretta, Relatività Generale e Cosmologia

Semplificazione del fattore di Lorentz

Messaggioda ivan il lun 3 ago 2009, 10:58

Amici della Relatività ristretta,
mi chiamo Ivan Russo e abito in Potenza (I).
Propongo un ragionamento semplificato che porta al fattore di Lorentz. Esso mi pare molto più ortodosso (ovviamente, sto parlando sempre di semplificazioni) dell’applicazione del Teorema di Pitagora al noto moto dello specchio che riflette il raggio. Infatti, in quel caso, si pretende di ricavare il tempo (t) del sistema in movimento (che chiamiamo X), con riferimento al cateto verticale (la cui lunghezza è uguale a tc); tale cateto, come si sa, corrisponderebbe (a dire di tale impostazione metodologica) alla radice quadrata dell’ipotenusa (t’c) al quadrato meno il cateto orizzontale (t’v) al quadrato: si tratta del triangolo che sarebbe osservato da chi sta in un sistema fisso (o di moto lineare uniforme a velocità minore rispetto al moto dello specchio), che chiamiamo Y.
In merito, pare evidente che si pretende di applicare Pitagora a un triangolo che ha il cateto verticale in uno spazio-tempo (sistema immobile) differente da quello in cui si formano l’ipotenusa e il cateto orizzontale (sistema in movimento); la seconda è che tale calcolo offre, a ben vedere, la misura della dimensione perpendicolare (teorica) alla direzione del moto indovinata sempre da chi si trova nel sistema (Y), e nulla più. Cosicché, per ricavare il tempo (t) dell’altro sistema, si ricorre a due vere e proprie illazioni sfornite di supporto: 1) si dà per scontato (senza provarlo) che la dimensione verticale sia invariante; 2) si dà per scontato (senza provarlo) che il tempo di tale invariante corrisponda a quello che misura l’altro soggetto nel suo sistema (anche quando tale soggetto rivolga le misurazioni non alla dimensione verticale al moto, uguale per tutti, ma alle altre dimensioni).
A me, invece, sembra più logica e corretta la semplificazione ricavata dalle esemplificazioni seguenti.
1
Un viaggiatore che si trova nella nave stellare X spara (con un cannone elettrico) il classico fotone a un bersaglio che si trova sulla nave, a prua (lungo la direzione del moto); misura in 100 nanosecondi il tempo occorrente al fotone per raggiungere il bersaglio: deduce che il bersaglio si trova a 30 metri (tc) dal punto di partenza del fotone (secondo lui, che si giudica fermo, tale punto coincide sempre con l’attuale posizione della bocca del cannone elettrico). Indirizza poi un altro fotone nella direzione opposta (esattamente inversa a quella del moto: la poppa), dove si trova, sempre a 30 metri, un altro bersaglio: anche questa volta, il tempo occorso al proiettile per raggiungere il bersaglio è, secondo l’orologio del viaggiatore, pari a 100 nanosecondi.
Un osservatore, che si trova nel sistema Y (fermo, ovvero in moto lineare uniforme a velocità costante più ridotta), rileva, con procedimento logico-matematico (non parlo di constatazione visivo-geometrica poiché la questione sarebbe resa più complessa dal fatto che l’osservatore vede il sistema X più corto, stante la nota contrazione in direzione del moto), che, in virtù della costante della luce, il fotone di poppa raggiunge il bersaglio prima che il fotone di prua faccia centro.
Tale osservatore sa anche che il bersaglio di prua non può mai percorrere (con la nave), in una data frazione temporale, un tragitto maggiore di quello percorso dal fotone nello stesso tempo (dato che non è possibile vincere la rapidità della luce). Per facilità di calcolo, dunque, egli ipotizza un «infinito spaziale» verso prua, corrispondente quasi al doppio della distanza percorribile dal fotone in una data unità di tempo: in pratica, uguale alla somma ottenuta addizionando al tragitto percorso dal fotone il tragitto percorso (nella stessa unità di tempo) dalla prua della nave stellare (quando questa avrà quasi raggiunto la velocità della luce). Valuta il fenomeno di poppa, invece, in maniera diametralmente opposta, ipotizzando uno «zero spaziale» che coincide con la differenza ottenuta sottraendo dal tragitto percorso dal fotone il tragitto percorso dal bersaglio di poppa (che va incontro al proiettile) nella medesima unità di tempo (zero spaziale che, anche qui, si verificherà quando la nave raggiunge quasi la velocità della luce). Inoltre, e soprattutto, l’osservatore si accorge che, con il mutare della velocità della nave, il valore della somma (ossia quella riguardante la successione di prua) è sempre inversamente proporzionale al valore della differenza (ossia quella riguardante la successione di poppa).
Ora, sapendo che per il viaggiatore le misurazioni sono sempre identiche e indipendenti dalla velocità della nave (come si sa, egli, soggiacendo agli effetti relativistici, misura gli svolgimenti nella nave come se fosse fermo), l’osservatore formula la seguente equazione: in proposito, è ovvio (e ciò varrà anche per la proposta successiva) che i tempi t’ e t sono intesi come numero di nanosecondi; è altrettanto ovvio che il valore di t’c + t’v va considerato sempre in rapporto al quasi infinito, mentre il valore di t’c – t’v va considerato sempre in rapporto al quasi zero. Ecco il ragionamento dell’osservatore: «Lo spazio calcolato da me (con riferimento alle successioni di prua: t’c + t’v) sta allo spazio misurato dal viaggiatore (sempre con riferimento agli svolgimenti di prua: tc) come lo spazio misurato dal viaggiatore (con riguardo agli accadimenti di poppa: per lui, è sempre tc) sta allo spazio misurato da me (con riguardo a poppa: t’c – t’v)».
Ossia (t’c + t’v): tc = tc: (t’c – t’v)
Sviluppata la facile equazione, troviamo che
t’ = t fratto radice quadrata di 1 - v quadro/c quadro: fattore di Lorentz.
Sicché, il numero dei nanosecondi contati dal viaggiatore (t’) tenderà, a mano a mano che aumenta v, verso l’infinito (rispetto a quelli contati dal viaggiatore); ovvero, ed è la stessa cosa, i nanosecondi t’ (dell’osservatore) scorreranno via via più velocemente rispetto ai nanosecondi t (del viaggiatore): in definitiva, la durata del nanosecondo (o dei nanosecondi) del viaggiatore tenderà (rispetto alla durata dei nanosecondi dell’osservatore) verso l’infinito.
Questa esemplificazione mi pare anche più plausibile per la comprensione pratica dell’invarianza della dimensione trasversale; infatti, essa altro non è che l’astratto (nel concreto, di impossibile fattura) anello verticale (rispetto alla direzione del moto) lungo il quale il fotone viaggia senza inclinarsi (neppure minimamente), né verso il versante di prua, né verso quello di poppa: l’osservatore comprende così che, nell’ideale cerchio di quell’anello, t’c + t’v è uguale a t’c – t’v, giacché v è uguale a zero (e dunque, non vi è moto).
E ancora, siccome il fenomeno è stato valutato nelle sue dinamiche estreme (perfetta direzione del moto e perfetto opposto), conveniamo che l’incongruenza tra i due tempi (t e t’) riguarda i fenomeni che avvengono in tutti i punti dei due rispettivi sistemi: nel caso nostro, in tutti i punti della nave (da una parte) e in tutti i punti del sistema dove sta l’osservatore (dall’altra).
2
Passiamo ad altro esempio formulato sempre con gli stessi due protagonisti. Questa volta, valutiamo soltanto le successioni che avvengono verso prua nelle stesse condizioni e nello stesso contesto innanzi analizzati.
L’osservatore verifica che, dopo 100 dei suoi nanosecondi, il bersaglio non è stato raggiunto; per lui, dunque, trascorsi 100 nanosecondi dalla partenza del fotone, il bersaglio si trova in un punto che, rispetto a quello donde è partito il fotone, dista t’ (c + v): (t’ è il suo tempo e v è la velocità della nave X giudicata da lui). In definitiva, dopo 100 dei propri nanosecondi, l’osservatore calcola che il segmento t’ (c + v) (che va dal punto di partenza del fotone fino al punto in cui si trova il bersaglio) appare maggiore di quello misurato dal viaggiatore in X (ossia tc: dove t corrisponde a 100 nanosecondi contati dal viaggiatore).
Sapendo che la velocità del fotone (che usiamo come regolo) è invariante (quindi, la lunghezza del segmento rimane identica), e che la misura dello spazio è ottenuta moltiplicando il tempo per la velocità, deduciamo che la durata dei nanosecondi contati dal viaggiatore (X) deve (perché il valore dell’invariante sia, appunto, identico in entrambi i sistemi) essere necessariamente maggiore di quella dei nanosecondi contati dall’osservatore (Y); inoltre, appare evidente che il rapporto tra il valore dello spazio misurato da Y e quello misurato da X (da una parte) si modella (in conseguenza della velocità) secondo progressione esattamente proporzionale al rapporto tra la durata del tempo di X e quella del tempo di Y (dall’altra) (ovviamente, la proporzione tra i valori dei rispettivi tempi, come dei rispettivi spazi, si modellerà, viceversa, secondo termini esattamente inversi): sicché, la lunghezza del segmento secondo Y sta a quella del segmento secondo X come il valore (durata) del tempo di X sta al valore (durata) del tempo di Y.
Anche questa volta, sapendo che il bersaglio, dopo 100 nanosecondi dalla partenza del fotone, non può mai percorrere un tragitto maggiore di quello percorso dal fotone negli stessi 100 nanosecondi (dato che non è possibile vincere la rapidità della luce), l’osservatore immagina il solito «infinito spaziale» corrispondente quasi al doppio della lunghezza del segmento (30 metri) percorso dal fotone nell’unità di tempo (100 nanosecondi): ossia, quasi 60 metri (quando la velocità della nave avrà quasi raggiunto c). Al contempo, immagina, nelle predette condizioni, un «infinito temporale» (durata eterna dei nanosecondi) nella nave.
Ora, acquisito che il valore del tempo in un sistema è inversamente proporzionale a quello dell’altro, ecco che, a mano a mano che il valore dello spazio (giudicato da Y) tende all’infinito (cioè, via via che il segmento t’v tende a essere uguale al segmento t’c), il valore (durata) dei nanosecondi (sempre di Y ) tende allo zero rispetto al valore (durata) dei nanosecondi di X. Per dirla con altri termini, mentre (giudicata da Y) la lunghezza del segmento cresce (con l’incremento della velocità di X) secondo il fattore c + v (ovviamente, come innanzi chiarito, il risultato dell’addizione costituisce sempre valore da rapportare all’ideale infinito), il tempo di Y va (rispetto al tempo di X) verso lo zero: e tale regressione verso lo zero avviene in misura perfettamente proporzionale all’incremento progressivo dello spazio verso l’infinito, di guisa che, mentre il segmento orizzontale (lo spazio) tende a raggiungere una misura doppia rispetto a t’c (e dunque va verso un infinito che si configura quando v è quasi uguale a c), il tempo di Y (rispetto a quello di X) tende, al contrario, a rimpicciolirsi secondo un fattore il cui valore è perfettamente uguale a c – v : tempo che si azzera quando v è quasi uguale a c (ovviamente, anche il risultato della sottrazione c – v costituisce sempre valore da rapportare).
Convertendo il ragionamento in equazione, ecco che la distanza del bersaglio dal punto donde è partito il fotone (giudicata dall’osservatore) t’ (c + v) sta alla stessa distanza (giudicata da viaggiatore) tc, come il valore del tempo del viaggiatore (tempo che, conferendogli il valore X, definiamo tX) sta al valore del tempo dell’osservatore (tempo che, conferendogli il valore Y, definiamo t’Y). Cioè,
t’ (c + v): tc = tX: t’Y
Ebbene, atteso che il valore di X (nel sistema del viaggiatore) è convenzionalmente identico a quello di c, e che il valore di Y (nel sistema dell’osservatore) è convenzionalmente identico a c – v, procediamo alle rispettive sostituzioni in modo che sia formulata un’equazione le cui quantità siano omogenee: ed ecco che, ancora una volta
t’ (c + v): tc = tc: t’ (c - v)
Ossia (t’c + t’v): tc = tc: (t’c – t’ v)
Anche con tal procedimento, si può dunque ricavare il fattore di Lorentz.
Mentre vi saluto, ditemi che ne pensate.
ivan
 
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Re: Semplificazione del fattore di Lorentz

Messaggioda leo il ven 29 apr 2016, 3:54

Salve a tutti.
L'esempio proposto riguarda la modifica del concetto di simultaneità degli eventi.
La trasformazione di Lorentz riguardante la dilatazione temporale è:
t' = gamma(t - vx/c^2).
Applicata al caso in questione, si ricava:
t'1 = gamma(t - v/c^2 x1)
t'2 = gamma(t - v/c^2 x2)
con
t1 , tempo di prua
t2 , tempo di poppa
da cui
t2- t1 = gamma v/c^2 (x1- x2).

Ci terrei a precisare che contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi sono due fenomeni separati e non "miscelabili", rappresentati da due equazioni diverse:
L' = L radq(1 - v^2/c^2)
t' = t/radq(1 - v^2/c^2).

Grazie dell'attenzione, arrivederci.
Leo.
leo
 
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