Esistenza unica distribuzione superficiale di carica

Esistenza unica distribuzione superficiale di carica

Messaggioda cristian_c il sab 20 nov 2010, 23:22

Ciao,
c'è un risultato che non so come sia possibile dimostrare.
Inizio dal principio.

Il testo parte così:
Per quanto verrà nel seguito sviluppato, è opportuno richiamare il fatto che in elettrostatica, dato un qualsiasi conduttore nel vuoto, sul quale sia disposta una carica Q, il volume del conduttore è equipotenziale e la distribuzione di carica è superficiale. Se il conduttore, di superficie di contorno S e carico con densità superficiale di carica \sigma(x,y,z), è posto molto lontano da altre sorgenti di campo elettrico, il potenziale di un punto P interno al conduttore assume la forma:


Immagine

Poi il testo pone due condizioni.

La condizione che in tutti i punti interni al conduttore sia:

V(P) = costante = V

unita alla condizione:

Immagine

implica, come è possibile dimostrare, che esista un'unica distribuzione superficiale di carica \sigma(x,y,z) che soddisfa entrambe le precedenti condizioni.

Ecco, ora io mi chiedo: come faccio a dimostrare tale affermazione, cioè che tenendo ferme quelle condizioni esista un'unica distribuzione di carica per il conduttore?

Se la dimostrazione sta tutta nelle possibili soluzioni delle due equazioni, qual'è la relazione che lega le due equazioni e c'è un modo per risolverle?

Io ho provato per assurdo definendo nel punto (x,y,z) sia \sigma_1 che \sigma_2, cioè avendo due densità di carica possibili in un qualunque punto (x,y,z).

Come si procede esattamente in questo caso? :)

È un risultato non banale secondo me e cercando in rete non ho trovato praticamente niente in merito, tantomeno su dei testi di fisica :redface:
cristian_c
 
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Re: Esistenza unica distribuzione superficiale di carica

Messaggioda newton1372 il mer 2 dic 2015, 7:23

No non e banale affatto infatti ho dovuto sudare sette camice per trovare appagamento al mio desiderio di rigore, anche nella questione in questo topic e anche in altre (buona positura soluzione con dielettrici!).
Ti propongo due modi per uscirne.
Il primo consiste di dimostrare che, fissata la carica sulla superficie ESTERNA di un conduttore, e univocamentefissato il suo potenziale, e quindi ci ricpnduciamo a un problema con condizioni di Dirichlet. Per cui esiste un'unica soluzione V in tutto lo spazio, e pertanto un unica distribuzione di carica $sigma=\frac{\partial V}{\partial n}$.
L'altra via e quella di dare un occhiata al mio problema (buona positura problema di elettrostatica con dielettrici) e notare che un conduttore e un caso particolare di dielettrico nel limite $\epsilon\to\inf$.
newton1372
 
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