Buona positura del problema di elettrostatica con dielettrici (quesito matematicoso)

Buona positura del problema di elettrostatica con dielettrici (quesito matematicoso)

Messaggioda newton1372 il lun 23 nov 2015, 10:52

Spesso nei problemi di calcolo del potenziale viene impropriamente "invocato" il teorema di unicità della soluzione del problema di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann, senza preoccuparsi troppo di rendere RIGOROSA tale applicazione, cioè di far vedere che effettivamente il problema che stiamo risolvendo si riconduce senza mezzi termini al problema di Poisson con condizioni al contorno di Neumann o Dirichlet (per cui è DIMOSTRATA l'unicità).
Quello che propongo è di provare a far vedere che la soluzione del problema di elettrostatica in presenza di corpi dielettrici è unica, ovvero che, fissate le cariche reali, posto a 0 il potenziale all'infinito, è univocamente determinata la polarizzazione del dielettrico, il campo fuori e il campo dentro. Questo ci autorizzerebbe a cercare "soluzioni di forma particolare" che soddisfa le condizioni di raccordo, e una volta trovata tale soluzione, tranquillizzarci del fatto che è proprio la soluzione cercata, in quanto l'unica che soddisfa tali condizioni.

Supponiamo di avere una superficie $S_0$ a potenziale nullo. Abbiamo una $\rho$ distribuzione di cariche REALI in giro per lo spazio, e c'è un dielettrico di forma qualunque (chiamo $S_d$ la superficie chiusa che racchiude il dielettrico. Supponiamo inoltre che il dielettrico sia lineare, per cui vale $D=\epsilon E$.

Il problema da risolvere è il seguente:
$\nabla^2 u = -4\pi\rho$ (1)
$u(S_0) = 0$ (2)
$\epsilon \partial_n u_{int} = \epsilon_0 \partial_n u_{ext}$ lungo $S_d$ (3).

La (3) esprime la discontinuità dei campi lungo la buccia del dielettrico (sono condizioni ai limiti).
Uno dei problemi è dovuto al fatto che il teorema di unicità vale solo per "campi $C^2$" (è tra le ipotesi).
Il secondo problema è che (1) e (2) già di per se danno una soluzione unica, per cui se trovassi una soluzione (1)-(2)-(3) questa dovrebbe coincidere con l'unica soluzione di (1)-(2) (cioè è come se il dielettrico non ci fosse!)
Un professore mi ha suggerito di aggiungere delle delta di dirac al secondo membro di (1) per esprimere la discontinuità data in (3), ma non ho idea di come farlo! (So esprimere con le delta una discontinuità di u, ma qui ad essere discontinua è la derivata normale!)

Avete qualche idea per ricondurre il problema (1)-(2)-(3) a un problema di Poisson con condizioni al bordo di Dirichlet o Neumann?

Grazie per l'attenzione.
newton1372
 
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Re: Buona positura del problema di elettrostatica con dielettrici (quesito matematicoso)

Messaggioda newton1372 il mer 6 gen 2016, 17:23

Se qualcuno ha interesse, ho trovato una soluzione a questo problema, penso che ne parlerò al conferimento della mia laurea triennale...
newton1372
 
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