Due masse, una molla e un impulso

Due masse, una molla e un impulso

Messaggioda oli89 il mar 24 feb 2009, 19:39

Due corpi di massa m sono collegati tramite una molla ideale e sono liberi di scorrere su un piano privo di attrito. Il sistema è inizialmente in quiete. Con un martello si colpisce per un breve lasso di tempo t una delle due masse lungo la congiungente e dunque lungo l'asse della molla. L'impluso fornito è J. Si dica la velocità delle due masse dopo che la forza cassa di agire e si calcoli l'energia totale del sistema e la parte di questa riferita al moto del CDM
oli89
 
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Messaggioda andreaandrea il ven 20 apr 2012, 15:27

Tento di rispondere a questo post, anche se è un po' vecchiotto. Ditemi se la soluzione vi convince.

Per non fare troppa confuzione da ora in poi chiamerò T la durata conosciuta dell'urto e t il generico istante di tempo dopo che l'urto ha avuto inizio.
Sia l la lunghezza a riposo della molla e k la costante elastica della molla.

Dato che T è piccolo posso supporre che durante l'urto agisca per un tempo T una forza costante F: F = \dfrac{J}{T}

Dette a_{cm} \ \ \ \ v_{cm} rispettivamente l'accelerazione del centro di massa durante l'urto e la velocità del centro di massa alla fine dell'urto, valgono le equazioni

a_{cm} = \dfrac{F}{2m} = \dfrac{J}{2mT}
v_{cm} = \dfrac{J}{2m}

Ma

v_{cm} = \dfrac{v_1m + v_2m}{2m} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}

dove v_1 è la velocità subito dopo l'urto del blocco colpito e v_2 è la velocità dell'altro blocco.

Eguagliando si ottiene

\boxed{v_1 + v_2 = \dfrac{J}{m}}

Sia x \vec i il vettore posizione del corpo colpito durante l'urto e y \vec i il vettore posizione del secondo blocco. Per come scelgo il sistema di riferimento, con l'origine nel punto in cui si trova la massa colpita, posso scrivere y > x \ \ \ \ \ \forall t

Al generico istante t, la compressione, in valore assoluto, della molla vale:

\delta l = l - f con f = y - x

Le equazioni del moto dei due corpi sono dunque

-k(l-f) + F = m \ddot x
k(l-f) = m \ddot y

Dalle queste ottengo

m \ddot f = -F + 2k(l-f)

Risolvendo l'equazione differenziale ottengo

f = Acos\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}}t + \phi \right) + \dfrac{2kl - F}{2k}

Imponendo f(0) = l e \dot f (0) = 0 ottengo

f = \dfrac{F}{2k}cos\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}}t \right) + \dfrac{2kl - F}{2k}

da cui

\dot f (T) = v_2 - v_1 = \dfrac{F}{2k}\sqrt{\dfrac{2k}{m}sin\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}}T \right)

Dall'ultima equazione e da quella riquadrata ottengo:

v_1 = \dfrac{J}{2m} + \dfrac{F}{2 \sqrt{2km}}sin\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}}T \right)
v_2 = \dfrac{J}{2m} - \dfrac{F}{2 \sqrt{2km}}sin\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}}T \right)

L'energia del centro di massa dopo l'urto vale

E_{cm} = m v_{cm}^2 = \dfrac{J^2}{4m}

L'energia totale del sistema vale

E = \dfrac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2) + \dfrac{1}{2}k(l-f(T))^2

è corretto ?
Accetto volentieri consigli e correzioni
andreaandrea
 
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