Autovettori della matrice di urto elastico.

Autovettori della matrice di urto elastico.

Messaggioda Fedecart il sab 10 mag 2014, 23:16

Si consideri l'urto elastico non relativistico di due particelle puntiformi di massa $m$ e $M$, le quali prima dell'urto si muovono nello spazio tridimensionale rispettivamente di velocità cotanti $\vec{v}_i$ e $\vec{V}_i$.
Si mantenga l'angolo tra $\vec{v}_i$ e $\vec{V}_i$ arbitrario. (i.e. la collisione non è necessariamente frontale).
Siano $\vec{W}_i=(\vec{v}_i\vec{V}_i)$ e $\vec{W}_f=(\vec{v}_f\vec{V}_f)$ vettori in $\mathbb{R}^6$.
Ora, è ben noto che le componenti delle velocità finali delle particelle, dopo l'urto, sono combinazioni lineari delle componenti delle velocità delle particelle prima dell'urto.
Questo significa che esiste una matrice $M\in GL(6, \mathbb{R})$ tale che $M W_i=W_f$

Si dimostri che tale $M$ è una matrice invertibile.
Si trovi la forma esplicita di tale $M$.
Si trovino gli autovettori e gli autovalori, e si commenti il (molto carino) senso fisico del risultato appena trovato.

Se il problema fosse difficile si può iniziare con il caso piano, ovvero in cui la terza componente di tutte le velocità coinvolte è nulla.

Possibile generalizzazioni: ripetere il conto per un urto relativistico elastico piano.
Ripetere il conto per un urto relativistico tridimensionale.
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