tre masse, due molle

tre masse, due molle

Messaggioda desh il ven 17 ago 2012, 13:41

Tre punti materiali di massa m_1, m_2, m_3, m_1=\frac{m_2}{2}=m_3 si muovono sul piano orizzontale in assenza di attriti. Il punto 2 interagisce col punto 1 tramite un potenziale perfettamente elastico di costante elastica k. Allo stesso modo il punto 2 interagisce col punto 3, mentre i punti 1 e 3 non interagiscono tra loro. Si determino i modi di oscillazione (con le relative frequenze) del sistema .
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Messaggioda Fedecart il ven 17 ago 2012, 14:45

Esiste un modo intelligente per farlo che non sia diagonalizzare una matrice 6x6? Perchè quello porta, ma è lungo...
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Messaggioda pasquale89 il lun 11 feb 2013, 7:23

Fedecart ha scritto:Esiste un modo intelligente per farlo che non sia diagonalizzare una matrice 6x6? Perchè quello porta, ma è lungo...


Perché 6x6?
sono tre masse che si muovo su di un piano quindi presumo che abbiano un solo grado di libertà.
I gradi di libertà totali del sistema sono 3 (uno per ogni massa).
La matrice è quindi una 3x3...

Per quanto riguarda un metodo alternativo puoi considerare le masse come separate, considera il sistema m1 + molla dove la molla è fissata ad un estremo la frequenza propria è (k/m1)^0.5
Se poi consideri la massa m2 ottieni una seconda frequenza che è pari a (k/m2)^0.5
la terza frequenza è compresa tra queste due.

Il grado di approssimazione dovrebbe essere del 10% circa.
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Messaggioda Fedecart il lun 11 feb 2013, 19:38

pasquale89 ha scritto:sono tre masse che si muovo su di un piano quindi presumo che abbiano un solo grado di libertà.


No, non è corretto.

Se tre masse si muovono su un piano (che è bidimensionale) allora ogni massa ha due coordinate (x_i,y_i) e i gradi di libertà del sistema complessivo sono 6, ovvero (x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3).
Da nessuna parte c'è scritto che sono vincolate a muoversi su una retta appartenente al piano. Quindi questa tua assunzione, che semplifica i conti e si realizza per opportune condizioni iniziali, è assolutamente arbitraria.

Ad esempio prendi un sistema di due assi \hat{x} e \hat{y} e prendi l'asse \hat{x} lungo la congiungente alle molle quando queste sono ferme in equilibrio. Immagina di far partire le tre masse spingendo ad esempio m_1 ed m_3 verso le y positive e tirando invece m_2verso le y negative. E' palese che il sistema non evolverà muovendosi su una retta.
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Messaggioda pasquale89 il mer 13 feb 2013, 5:54

chiedo venia.

beh in tal caso possiamo considerare che i moti lungo x e y siano tra loro disaccoppiati per cui il moto complessivo è semplicemente somma dei due moti applicando un principio di sovrapposizione degli effetti.

Per quel che riguarda x allora puoi considerare quello che ho detto prima.
Per quanto riguarda il puro moto lungo y non avremo alcuna traslazione lungo l'asse x per cui possiamo risolvere usando l'equazione della corda elastica agli elementi finiti che è nota il letteratura e anche banale da risolvere.

Il moto complessivo lo ottieni come somma dei due singoli modi.

ti convince?
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Messaggioda Fedecart il lun 18 feb 2013, 20:14

In realtà no, non mi convince per niente.
Come mai i moti sono separabili, disaccoppiati?
Un moto è separabile se le equazioni differenziali del moto sono disaccoppiate nel senso che nell'equazione i-esima entra solo la funzione i-esima incognita edeventualmente il tempo.
Ad esempio quando ti insegnno il moto parabolico di un punto materiale lanciato in presenza di gravità, i due moti (quello uniforme lungo\hat{x} e quello uniformemente accelerato lungo \hat{y} sono separabili, perchè il sistema differenziale che regola questo moto è
\begin{cases}
\ddot{x}=0 \\
\ddot{y}=-g
\end{cases}

Ora, in questo problema non è questo il caso. Se scrivi il sistema differenziale differenziale \vec{F}_i=m\vec{a}_i con i=1,2,3 che indicizza le 3 masse, e lo spezzi in un sistema di sei equazioni differenziali, una per la direzione \hat{x} e una per la direzione \hat{y} di ogni massa noti che nell'equazione per \hat{x_i} c'è dipendenza in y_j ed x_j per tutti j \neq i e viceversa, e nessun cambio di variabile trovabile a occhio ti permette di disaccoppiare il sistema.
O meglio l'unico cambio di variabile che ti disaccoppia è quello definito dai modi normali, ma allora avresti risolto il problema a occhio!

Se questa cosa non ti convince faccio tutti i passaggi espliciti.

E poi sopratutto cos'è l'equazione della corda elastica agli elementi finiti? Intendi l'equazione delle onde in una dimensione, da risolvere con qualche modo numerico, spezzettando la corda in "intervallini"? Non ho mai sentito questa cosa.
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