Lagrangiane non equivalenti generano moti identici

Lagrangiane non equivalenti generano moti identici

Messaggioda Fedecart il gio 10 mar 2011, 0:24

Definizione: Due lagrangiane L(q,\dot q, t) ed \hat L(q,\dot q, t) si dicono equivalenti, oppure invarianti per cambi di gauge se \hat L(q,\dot q, t)=cL(q,\dot q, t) +\displaystyle \frac{d}{dt}F(q,t) per qualche c \in \mathbb{R} e per qualche funzione F(q,t) che non dipenda dalle \dot q.

1. Due lagrangiane equivalenti conducono alle stesse equazioni di Lagrange.
2. Non vale il viceversa. Ovvero, non tutte le lagrangiane che conducono alle stesse equazioni di Lagrange sono equivalenti.
3. C'è qualche relazione o analogia fisica tra due sistemi retti da lagrangiane non equivalenti ma che conducono alle stesse equazioni di Lagrange?
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Messaggioda killing_buddha il gio 10 mar 2011, 14:38

La prima si dovrebbe fare semplicemente scontacciando, considerato che la parola funzione e' sinonimo di funzione "dotata delle proprieta' adatte a far tornare i conti." :mrgreen:

In particolare deve accadere che

    \displaystyle
\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial \hat L}{\partial \dot q} = \frac{\partial \hat L}{\partial q}
ma ora LHS e' uguale a

    \displaystyle
\frac{\text{d}}{\text{d}t}
c\frac{\partial L}{\partial \dot q}
+\frac{\text{d}}{\text{d}t}
\frac{\partial}{\partial \dot q}
\left(\frac{\partial F}{\partial q}\right)\dot q=c\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial F}{\partial q}
e RHS e' uguale a

    \displaystyle c\frac{\partial L}{\partial q}+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial F}{\partial q}
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Messaggioda killing_buddha il mer 27 lug 2011, 18:31

Non so se questo risponda al quesito numero 2, ma credo si possa dimostrare quanto segue.

Per c\in \mathbb R le due densita' di lagrangiana \mathcal L_1=\mathcal L e \mathcal L_2 = c\mathcal L+\overline{\mathcal L}, dove \mathcal L=\mathcal L(\psi,\partial\psi), \overline{\mathcal  L} = \partial_\alpha f^\alpha e f^\alpha=f^\alpha(\psi) conducono alle stesse equazioni del moto.

Vi ci lascio pensare.
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Messaggioda Lord K il lun 29 ago 2011, 15:27

killing_buddha ha scritto:...In particolare deve accadere che.

\displaystyle
\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial \hat L}{\partial \dot q} = \frac{\partial \hat L}{\partial q}


Se il sistema è conservativo allora ci siamo di certo! Per il resto ci vuole un momento di meditazione...
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