Moto circolare..chiarimento teorico

Moto circolare..chiarimento teorico

Messaggioda ciccio il mar 22 giu 2010, 15:22

salve ragazzi;
premetto che il forum è davvero favoloso!! :)
Volevo esporvi un dubbio che mi sta assalendo ultimamente:

Abbiamo un moto circolare, quindi un punto materiale \displaystyle P che si muove lungo una traiettoria circolare, come in figura:

Immagine

dove \displaystyle s è l'ascissa curvilinea, R il raggio, \displaystyle \theta l'angolo che forma il raggio con l'asse delle ascisse \displaystyle x.

Ora, per determinare la velocità del punto P; il mio libro di meccanica razionale, fa questi passaggi:

\displaystyle \underline{v} (P) = \frac{dP}{dt} = \frac{dP}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \dot{s} \underline{t}

Per prima cosa divide e moltiplica per \displaystyle ds; e fin qui tutto ok.
Inoltre mi è chiaro che:

\displaystyle \frac{ds}{dt} =  \dot{s}

Mentre ciò che mi "turba" è questo:

\displaystyle \frac{dP}{ds} = \underline{t}

ove \displaystyle \underline{t} = versore tangente alla traiettoria!

Perché? Cioè geometricamente cosa vuole rappresentare quel \displaystyle \frac{dP}{ds} ?
Grazie a chiunque vorrà spiegarmelo!

_________________________________________________

Ne approfitto per esporre un ulteriore dubbio relativo sempre al moto circolare (se lo ritene OT, avvisatemi pure), in particolare al calcolo dell'accelerazione; i passaggi per determinarla sono i seguenti:

\displaystyle \underline{a} (P) = \frac{d^2P}{dt^2} = \frac{d }{dt} (\underline{v} (P)) = \frac{d }{dt} (\dot{s} \underline{t}) =
\displaystyle \frac{d \dot{s} }{dt} \cdot \underline{t} + \dot{s} \cdot \frac{d\underline{t} }{dt} = \ddot{s} \underline{t} + \dot{s} \cdot \frac{d\underline{t} }{dt}

Fin qui mi è tutto chiarissimo, successivamente per il secondo termine \displaystyle \dot{s} \cdot \frac{d\underline{t} }{dt} dividiamo e moltiplichiamo per \displaystyle ds, così da ottenenere:

\displaystyle \dot{s} \cdot \frac{d\underline{t} }{ds} \cdot \frac{ds }{dt}

Fin qui chiaro.
Adesso, il libro fa questo passaggio:

\displaystyle \dot{s} \cdot \frac{d\underline{t} }{ds} \cdot \frac{ds }{dt} =  \dot{s} \cdot \frac{d\underline{t} }{ds} \cdot \dot{s} = \dot{s}^2 \cdot \frac{d\underline{t} }{ds} = \frac{\dot{s}^2}{R} \cdot \underline{n}

L'ultimissimo passaggio mi rende perplesso; da dove è uscito quel \displaystyle \underline{n} [= versore normale] e sopratutto quel R al denominatore??

Grazie in anticipo, spero di non avervi annoiato troppo e di essere stato chiaro ad esporre i miei dubbi!!
Buona giornata!
ciccio
 
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Messaggioda Lord K il mar 22 giu 2010, 16:21

Non si divide MAI per ds!!! Il senso è molto differente in quelle operazioni e sottointendono delle considerazioni sulle variabili e non moltiplicazioni o divisioni .Il lessico, quindi, è palesemente errato! :rolleyes:

A parte questo non sono molto adatto alla comprensione di dettagli fisici... :mrgreen:
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Messaggioda ciccio il mar 22 giu 2010, 16:56

Grazie per l'intervento Lord :)

Comunque io credo che fisicamente ci sia un significato ben preciso, ma matematicamente quella è un operazione di moltiplicazione e divisione di una stessa quantità!
Infatti il libro dice chiaramente: "Il risultato finale non cambia poiché, come è evidente, ci siamo solo limitati a moltiplicare e dividere per una stessa quantità infinitesima..."
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Messaggioda Lord K il mar 22 giu 2010, 16:59

L'errore è comune nel libri di fisica e meccanica razionale, ma non è una divisione e moltiplicazione e mi permetto di dire che il libro è altresì sbagliato.
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Messaggioda Lord K il mar 22 giu 2010, 17:03

Se osservi abbiamo che vale la derivazione di funzioni composte:

\diplaystyle \frac{d}{dt}P[s(t)] = \frac{d}{ds(t)}P[s(t)]\cdot \frac{d}{dt}[s(t)]

Le derivate sono operatori e non frazioni e qui vedi che non ci sono moltiplicazioni, ma modi di comporre operatori.
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Messaggioda ciccio il mar 22 giu 2010, 17:07

Ok Lord questo lo so :P ,
ma io credo che con quel ds si voglia solo far riferimento ad una quantità piccolissima.

Non saprei come comprendere quei passaggi, che alla luce di ciò che dici perdono completamente di significato.
ciccio
 
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Messaggioda Julio14 il mer 23 giu 2010, 0:25

Per quanto ho visto io di fisica, l'atteggiamento comune è che "sappiamo che quei df non sono quantità piccolissime, ma tutto il formalismo e le notazioni relative a derivate e integrali, se le funzioni in gioco sono abbastanza decenti (e in fisica si presume che lo siano sempre (perché non ci sono mai ipotesi ben definite, in genere si scoprono in corso d'opera in modo che tutto fili liscio)), fanno funzionare tutti i passaggi sporchi, quindi ce ne sbattiamo e trattiamo quel df come un oggetto a sé stante". Nota infatti che la regola citata da Lord K, $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}, è sufficiente a giustificare tutti i tuoi passaggi senza "moltiplicare e dividere per ds".

$\frac{dP}{ds}=\underline{t} è circa la definizione formale di s (passando all'integrale). Lasciando perdere le formalità, moralmente s è la lunghezza della traiettoria, ed è una quantità scalare, mentre la posizione P è vettoriale. Ora, se vuoi un discorso non formale (altrimenti prendi quella definizione di s e stop) è molto sensato che il modulo della variazione infinitesima della posizione sia uguale alla variazione infinitesima della traiettoria: in pratica stai dividendo il vettore "variazione posizione" per il suo modulo, trovi quindi il versore che indica la variazione di posizione e, al limite, la tangente.

Sempre per la serie "spiegazioni a chiacchiere", per chiarirti il secondo dubbio:
$\frac{d\underline{t}}{ds}=\frac{d\underline{t}}{d\theta}\frac{d\theta}{ds}
$\frac{d\underline{t}}{d\theta}=\underline{n}: se giri di d\theta la posizione, anche il versore tangente girerà di d\theta, e, per d\theta infinitesimo, in direzione radiale. Inoltre, poiché \underline{t} è unitario, il modulo della sua variazione sarà uguale a d\theta (la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio 1 con ampiezza d\theta), quindi il modulo di $\frac{d\underline{t}}{d\theta} sarà 1.
$\frac{ds}{d\theta}=R: questo dovrebbe essere abbastanza chiaro... "raggio=lunghezza arco diviso ampiezza".
Julio14
 
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Messaggioda ciccio il mer 23 giu 2010, 12:09

Julio14 ha scritto: Nota infatti che la regola citata da Lord K, $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}, è sufficiente a giustificare tutti i tuoi passaggi senza "moltiplicare e dividere per ds".


Grazie mille Julio; tutto chiaro.
Una sola cosa:

Quella regola a cui fai riferimento: $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx} deriva da dove? cioè come si chiama?
ciccio
 
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Messaggioda Lord K il mer 23 giu 2010, 12:28

Si chiama derivazione di funzione composta.
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