Forum Scienze Matematiche

di **Feanor** il gio 25 feb 2010, 12:57

Sia $n \in [3, +\infty[\, \cap\, \mathbb{N}$ . Non esiste alcuna terna $(a, b, c) \in \mathbb{Z}_0^3$ , con $\lvert c \rvert \leq n$ , che sia soluzione dell'equazione diofantea $a^n + b^n = c^n$ .

Note. Ovviamente, se ne richiede una soluzione elementare. Qui $\mathbb{Z}_0 := \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ .

di **fry** il ven 26 feb 2010, 17:00

Fissato $n \in \overline{3,+\infty}$ sia $\mathcal{S}_n := \left\{(a,b,c) \in \mathbb{Z}_0 : |c| \leq n \land a^n + b^n = c^n \right\}$ , il problema chiede in effetti di dimostrare che $\mathcal{S}_n = \emptyset$ .

Consideriamo $n$ dispari, supponiamo $(a,b,c) \in \mathcal{S}_n$ tale da rendere $|c|$ più piccolo possibile, notare che potrebbero esserci anche più terne del genere, inoltre wlog supponiamo $a \leq b$ .

Abbiamo $|a^n + b^n| = |c^n| \leq |c|^n$ , se $\mbox{sign}\, a = \mbox{sign}\, b$ allora $|a^n + b^n| = |a|^n + |b|^n \leq |c|^n$ e quindi $|a| < |c|$ e $(-b, c, a) \in \mathcal{S}_n$ , assurdo.
Se invece $\mbox{sign}\, a \neq \mbox{sign}\, b$ allora $|c|^n \geq |a^n + b^n| = -|a|^n + |b|^n \geq -|a|^n + \left(|a| + 1\right)^n = n |a|^{n-1} + \dots + 1$ quindi $n |a|^{n-1} < |c|^n$ i.e. $|a|^{n-1} \leq \frac{n}{|c|} |a|^{n-1} < |c|^{n-1}$ cioè $|a| < |c|$ mentre nuovamente $(-b, c, a) \in \mathcal{S}_n$ , assurdo.

di **jordan** il mar 2 mar 2010, 21:11

1. Se $2\nmid n$ allora $|S_n|=0$ (vedi sopra).
2. Se esiste $\min\{q\in \mathbb{P}\setminus\{2\}:q\mid n\}$ e $(a,b,c)\in S_n$ allora $\displaystyle (a^{2^{\upsilon_2(n)}},b^{2^{\upsilon_2(n)}},c^{2^{\upsilon_2(n)}})\in S_{n2^{-\upsilon_2(n)}}$ , assurdo.
3. Resta il caso che $n=2^k$ per qualche $k \in \mathbb{Z}\cap [2,+\infty)$ ma addirittura $x^4+y^2=z^4$ non ha soluzioni non banali in $\mathbb{Z}^3$ . Infatti sarebbe $(z^2+x^2)(z^2-x^2)=y^2$ ; possiamo supporre wlog $\text{gcd}(x,y)=\text{gcd}(y,z)=\text{gcd}(z,x)=1$ , e quindi esattamente uno di essi è pari; supponiamo sia $y$ . Allora $z^2+x^2=2a^2$ e $z^2-x^2=2b^2$ ; dato che $2\nmid xz$ è lecito definire $(u,v)\in \mathbb{Z}^2$ tali che $u+v=z$ e $u-v=x$ ; allora il sistema precedente è equivalente a $u^2+v^2=a^2$ e $2uv=b^2$ . Esistono quindi $(k,m,n)\in \mathbb{Z}^3$ tali che $u=2kmn, v=k(m^2-n^2),a=k(m^2+n^2)$ e $\text{gcd}(m,n)=1$ . Quindi $4k^2(m^2-n^2)mn$ è un quadrato perfetto. Siccome $\text{gcd}(mn,m^2-n^2)=1$ allora sono entrambi quadrati perfetti quindi esistono $(\alpha,\beta,\gamma)\in \mathbb{Z}^3$ tali che $m=\alpha^2,n=\beta^2,m^2-n^2=\gamma^2$ da cui $\alpha^4+\gamma^2=\beta^4$ . Ma questa è come l'originale, ma più piccola. :mrgreen:

Per cui deve essere $x$ pari, per cui $z^2-x^2=a^2,z^2+x^2=b^2$ che è equivalente a $b^2+a^2=2z^2,b^2-a^2=2x^2$ , e quindi si continua allo stesso modo di prima.
4. (Bonus). Calcolare $|\{(x,y,z)\in \mathbb{Z}^3:x^2+y^4=z^2\}|$ .

di **salvo.tringali** il mar 30 mar 2010, 20:24

jordan ha scritto:[...] 4. (Bonus). Calcolare $|\{(x,y,z)\in \mathbb{Z}^3:x^2+y^4=z^2\}|$ .

La risposta è ovviamente $\aleph_0$ . Forse intendevi $(x,y,z) \in \mathbb{Z}_0^3$ , con $\mathbb{Z}_0 := \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ ?

fry ha scritto:Fissato $n \in \overline{3,+\infty}$ sia $\mathcal{S}_n := \left\{(a,b,c) \in \mathbb{Z}_0 : |c| \leq n \land a^n + b^n = c^n \right\}$ , il problema chiede in effetti di dimostrare che $\mathcal{S}_n = \emptyset$ . Consideriamo $n$ dispari [...]

Nelle notazioni del quote, dato un intero pari $n \ge 4$ , risulta che $(a,b,c) \in \mathcal{S}_n$ sse $(|a|,|b|,|c|) \in \mathcal{S}_n$ , e quindi solo se $|a| < |b| < |c| \le n$ , come si può sempre ammettere senza perdita di generalità. Da qui $|c|^n \ge (1 + |b|)^n > |b|^n + n|b|^{n-1} > |a|^n+|b|^n$ , cioè un assurdo. []

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$a^n + b^n = c^n,\ |c|\leq n$

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