Scommesse su mazzo di carte rosse e nere

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Scommesse su mazzo di carte rosse e nere

Messaggioda fry il dom 6 mag 2012, 17:21

Problema (Own). Mescolato un mazzo di n carte rosse e n carte nere, un giocatore scommette sull'uscita di una carte nera, sull'uscita di una carte rossa oppure non scommette. Viene girata una carta e il giocatore vince un dollaro se ha indovinato, perde un dollaro se ha sbagliato oppure non vince né perde niente se non ha scommetto. Il gioco prosegue fino a che tutte le carte sono state girate. Supponendo che il giocatore abbia una memoria perfetta e giochi di modo da vince il più possibile dimostrare che il valore medio E_n della vincita con un mazzo di 2n carte soddisfa la ricorsione:

    \displaystyle E_n = \frac{2}{\displaystyle\binom{2n}{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac1{k} \binom{2k-2}{k-1}\binom{2n-2k}{n-k} \!\left(E_{n-k} + 1\right), per n \geq 1, con E_0 := 0.
Domanda aperta. È vero che \displaystyle\lim_{n \to \infty} E_n = +\infty?
"Hey. They laughed at Louis Armstrong when he said he was gonna go to the moon. Now he's up there, laughing at them."
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