[tex]X_1, X_2, \ldots[/tex] bernoulliane [tex]\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty X_n / 2^n[/tex] uniforme

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[tex]X_1, X_2, \ldots[/tex] bernoulliane [tex]\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty X_n / 2^n[/tex] uniforme

Messaggioda fry il mar 20 mar 2012, 0:07

Sia \{X_n\}_{n=1}^\infty una successione di variabili aleatorie indipendenti tali che \mathbb{P}[X_n = 0] =\mathbb{P}[X_n = 1] = \frac1{2}. Definiamo la variabile aleatoria Y := \sum_{n=1}^\infty X_n / 2^n. Dimostrare che Y è uniformemente distribuita in [0,1].
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Messaggioda Zok il mar 20 mar 2012, 10:15

Vista la definizione di Y, si può pensare a ciascuna variabile aleatoria X_n come l'n-esima cifra dopo la virgola di un espansione binaria. Siccome le variabili aleatorie sono tutte indipendenti tra loro, il valore di ogni cifra è indipendente dal valore delle altre. Questo fatto, assieme al fatto che tutte le v.a. X_n danno la stessa probabilità alle cifre 0 e 1, implica che ogni stringa (i.e. ogni espansione binaria) è equiprobabile. Dunque Y è uniformemente distribuita su [0,1].
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Messaggioda pic il mar 20 mar 2012, 11:44

Zok ha scritto:[...] ogni stringa (i.e. ogni espansione binaria) è equiprobabile. Dunque Y è uniformemente distribuita su [0,1].

Non mi e' chiaro questo passaggio...

Si puo' fare cosi. Applichiamo la trasformazione x\to 2x-1 alle v. a. di partenza, diciamo \widetilde X_n = 2X_n-1. Poi osserviamo che la funzione caratteristica di una v.a. uniformemente distribuita in [-1,1] \`e \displaystyle \int_{-1}^1\frac 12 e^{it u}du= \frac{\sin t}t, mentre la funzione caratteristica di \widetilde X_n \`e \cos t. Dall'indipendenza si ottiene che la caratteristica di \widetilde Y_n (v.a. di cui lascio la definizione per esercizio...) e' \prod_{k=1}^n \cos(t/2^k). Ora pero' sappiamo anche che \sin t = 2\cos(t/2)\sin (t/2)  = 4\cos(t/2)\cos(t/4)\sin(t/4)=\ldots=2^n\cos(t/2)\cos(t/4)\ldots\cos(t/2^n)\sin(t/2^n). Dividendo per t si ottiene
\frac {\sin t}t= \left(\frac{2^n}t \sin(t/2^n)\right) \cdot \prod_{k=1}^n \cos(t/2^k) \to 1\cdot \phi_{\widetilde Y}(t) se n\to \infty, ove \phi_{\widetilde Y} \`e la funzione caratteristica di \tilde Y.
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Messaggioda Spok il mar 20 mar 2012, 12:42

Un rilancio. Trovare la distribuzione di X:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n+1}}X_{2n+1}.
Una precisizione: diciamo più che trovare esplicitamente la distribuzione se ne studi qualche caratteristica.
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Messaggioda fry il mar 20 mar 2012, 14:31

Anche a me la soluzione di Zok non convince. Io ho fatto così: definiamo F(t) = \mathbb{P}[Y \leq t] per ogni t \in \mathbb{R}. Abbiamo ovviamente che F(t) = 0 se t < 0 e F(t) = 1 se t \geq 1. D'altra parte considerando che gli eventi X_1 = 1 e X_1 = 0 sono equiprobabili e indipendenti da X_2, X_3, \ldots risulta

    \displaystyle F(t) = \mathbb{P}\left[\sum_{n=1}^\infty \frac{X_n}{2^n} \leq t\right] = \frac1{2}\left(\mathbb{P}\left[\frac1{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{X_n}{2^n} \leq t\right] + \mathbb{P}\left[\sum_{n=2}^\infty \frac{X_n}{2^n} \leq t\right]\right)

      \displaystyle = \frac1{2}\left(\mathbb{P}\left[\frac{Y}{2} \leq t - \frac1{2}\right] + \mathbb{P}\left[\frac{Y}{2} \leq t\right]\right) = \frac{F(2t-1) + F(2t)}{2}
da cui per induzione abbiamo \displaystyle F(t) = \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{2^n - 1} F(2^n t - k) per ogni intero positivo n, quindi se t \in [0,1] risulta

    \displaystyle F(t) = \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{2^n - 1} \begin{cases} 1 & \mbox{ se } k \leq 2^n t - 1 \\ 0 &\mbox{ se } k > 2^n t \\ O(1) &\mbox { altrimenti } \end{cases} = \frac{\lfloor 2^n t \rfloor + O(1)}{2^n}
e al limite n \to \infty segue F(t) = t.
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Messaggioda Spok il mar 20 mar 2012, 15:48

Se vuoi puoi anche procedere direttamente.
Definisco Y_n:=2^{-n}\sum_{i=1}^n2^{n-i}X_i \,\, \sim \,\, 2^{-n}\sum_{i=1}^n 2^{i-1}X_i=:2^{-n}Z_n.
Le variabili Z_n sono uniformi discrete in \{0,1,...,2^n-1\}.

Fissa b \in (0,1) \cap \mathbb{Q}^c; lo considero irrazionale per comodità. Ai fini del problema non cambia perchè conoscere la funzione di distribuzione su un insieme denso determina la funzione stessa per continuità.
Esisterà N tale che b<\frac{2^n-1}{2^n}\quad \forall n\geq N.

P(Y_n \leq b)=P(Z_n \leq 2^n b)=\frac{\{\text{numero di interi da 0 fino a } b2^n\}}{2^n}= \frac{\lfloor2^nb\rfloor +1 }{2^n} \to b.
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