Forum Scienze Matematiche

da **fry** il mar 20 mar 2012, 0:07

Sia $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ una successione di variabili aleatorie indipendenti tali che $\mathbb{P}[X_n = 0] =\mathbb{P}[X_n = 1] = \frac1{2}$ . Definiamo la variabile aleatoria $Y := \sum_{n=1}^\infty X_n / 2^n$ . Dimostrare che $Y$ è uniformemente distribuita in $[0,1]$ .

da **Zok** il mar 20 mar 2012, 10:15

Vista la definizione di $Y$ , si può pensare a ciascuna variabile aleatoria $X_n$ come l' $n$ -esima cifra dopo la virgola di un espansione binaria. Siccome le variabili aleatorie sono tutte indipendenti tra loro, il valore di ogni cifra è indipendente dal valore delle altre. Questo fatto, assieme al fatto che tutte le v.a. $X_n$ danno la stessa probabilità alle cifre $0$ e $1$ , implica che ogni stringa (i.e. ogni espansione binaria) è equiprobabile. Dunque $Y$ è uniformemente distribuita su $[0,1]$ .

da **pic** il mar 20 mar 2012, 11:44

Zok ha scritto:[...] ogni stringa (i.e. ogni espansione binaria) è equiprobabile. Dunque $Y$ è uniformemente distribuita su $[0,1]$ .

Non mi e' chiaro questo passaggio...

Si puo' fare cosi. Applichiamo la trasformazione $x\to 2x-1$ alle v. a. di partenza, diciamo $\widetilde X_n = 2X_n-1$ . Poi osserviamo che la funzione caratteristica di una v.a. uniformemente distribuita in [-1,1] \`e $\displaystyle \int_{-1}^1\frac 12 e^{it u}du= \frac{\sin t}t$ , mentre la funzione caratteristica di $\widetilde X_n$ \`e $\cos t$ . Dall'indipendenza si ottiene che la caratteristica di $\widetilde Y_n$ (v.a. di cui lascio la definizione per esercizio...) e' $\prod_{k=1}^n \cos(t/2^k)$ . Ora pero' sappiamo anche che $\sin t = 2\cos(t/2)\sin (t/2) = 4\cos(t/2)\cos(t/4)\sin(t/4)=\ldots=2^n\cos(t/2)\cos(t/4)\ldots\cos(t/2^n)\sin(t/2^n)$ . Dividendo per $t$ si ottiene
$\frac {\sin t}t= \left(\frac{2^n}t \sin(t/2^n)\right) \cdot \prod_{k=1}^n \cos(t/2^k) \to 1\cdot \phi_{\widetilde Y}(t)$ se $n\to \infty$ , ove $\phi_{\widetilde Y}$ \`e la funzione caratteristica di $\tilde Y$ .

da **Spok** il mar 20 mar 2012, 12:42

Un rilancio. Trovare la distribuzione di $X:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n+1}}X_{2n+1}$ .
Una precisizione: diciamo più che trovare esplicitamente la distribuzione se ne studi qualche caratteristica.

da **fry** il mar 20 mar 2012, 14:31

Anche a me la soluzione di Zok non convince. Io ho fatto così: definiamo $F(t) = \mathbb{P}[Y \leq t]$ per ogni $t \in \mathbb{R}$ . Abbiamo ovviamente che $F(t) = 0$ se $t < 0$ e $F(t) = 1$ se $t \geq 1$ . D'altra parte considerando che gli eventi $X_1 = 1$ e $X_1 = 0$ sono equiprobabili e indipendenti da $X_2, X_3, \ldots$ risulta

$\displaystyle F(t) = \mathbb{P}\left[\sum_{n=1}^\infty \frac{X_n}{2^n} \leq t\right] = \frac1{2}\left(\mathbb{P}\left[\frac1{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{X_n}{2^n} \leq t\right] + \mathbb{P}\left[\sum_{n=2}^\infty \frac{X_n}{2^n} \leq t\right]\right)$

$\displaystyle = \frac1{2}\left(\mathbb{P}\left[\frac{Y}{2} \leq t - \frac1{2}\right] + \mathbb{P}\left[\frac{Y}{2} \leq t\right]\right) = \frac{F(2t-1) + F(2t)}{2}$

da cui per induzione abbiamo $\displaystyle F(t) = \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{2^n - 1} F(2^n t - k)$ per ogni intero positivo $n$ , quindi se $t \in [0,1]$ risulta

$\displaystyle F(t) = \frac1{2^n}\sum_{k=0}^{2^n - 1} \begin{cases} 1 & \mbox{ se } k \leq 2^n t - 1 \\ 0 &\mbox{ se } k > 2^n t \\ O(1) &\mbox { altrimenti } \end{cases} = \frac{\lfloor 2^n t \rfloor + O(1)}{2^n}$

e al limite $n \to \infty$ segue $F(t) = t$ .

da **Spok** il mar 20 mar 2012, 15:48

Se vuoi puoi anche procedere direttamente.
Definisco $Y_n:=2^{-n}\sum_{i=1}^n2^{n-i}X_i \,\, \sim \,\, 2^{-n}\sum_{i=1}^n 2^{i-1}X_i=:2^{-n}Z_n$ .
Le variabili $Z_n$ sono uniformi discrete in $\{0,1,...,2^n-1\}$ .

Fissa $b \in (0,1) \cap \mathbb{Q}^c$ ; lo considero irrazionale per comodità. Ai fini del problema non cambia perchè conoscere la funzione di distribuzione su un insieme denso determina la funzione stessa per continuità.
Esisterà $N$ tale che $b<\frac{2^n-1}{2^n}\quad \forall n\geq N$ .

$P(Y_n \leq b)=P(Z_n \leq 2^n b)=\frac{\{\text{numero di interi da 0 fino a } b2^n\}}{2^n}= \frac{\lfloor2^nb\rfloor +1 }{2^n} \to b$ .

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[tex]X_1, X_2, \ldots[/tex] bernoulliane [tex]\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty X_n / 2^n[/tex] uniforme

[tex]X_1, X_2, \ldots[/tex] bernoulliane [tex]\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty X_n / 2^n[/tex] uniforme

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