Una misura di probabilità su [tex]\mathbb{N}[/tex] t.c. [tex]\mathbf{P}(a\mathbb{N}) = 1/a[/tex]

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Una misura di probabilità su [tex]\mathbb{N}[/tex] t.c. [tex]\mathbf{P}(a\mathbb{N}) = 1/a[/tex]

Messaggioda fry il dom 18 mar 2012, 14:40

Dimostrare che non esiste nessuna misura di probabilità \mathbf{P} su \mathbb{N} := \{1,2,\ldots\} tale che per ogni a \in \mathbb{N} si abbia \mathbf{P}(a\mathbb{N}) = \frac1{a}.
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Messaggioda salvo.tringali il dom 18 mar 2012, 16:27

fry ha scritto:Dimostrare che non esiste nessuna misura di probabilità \mathbf{P} su \mathbb{N} := \{1,2,\ldots\} tale che per ogni a \in \mathbb{N} si abbia \mathbf{P}(a\mathbb{N}) = \frac1{a}.

Annoto un'osservazione. Sia \sigma una sigma-algebra su \mathbb{N} tale che, per ogni a \in \mathbb{N}, si abbia a\mathbb{N} \in \sigma. Allora \{1,2, \ldots, n\} \in \sigma per ogni n \in \mathbb{N}, poiché \{1, 2, \ldots, n\} = \mathbb{N} \setminus \bigcup_{a=n+1}^\infty a\mathbb{N} (*). Ne risulta \{n\} \in \sigma per ogni n \in \mathbb{N}, in quanto \{n\} = \{1, 2, \ldots, n\} \cap n\mathbb{N} (**), e quindi \sigma = \mathcal{P}(\mathbb{N}) (= le parti di \mathbb{N}).

(*) L'unione numerabile di misurabili è misurabile e \sigma è chiusa rispetto alla complementazione. (**) L'intersezione di misurabili è misurabile.
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Messaggioda ma_go il dom 18 mar 2012, 16:53

quanto mi piacciono gli esercizietti di teoria della misura..
e siccome non è un esercizio di probabilità, ma di misura, chiamerò la misura \mu invece di \mathbf{P}.
l'osservazione chiave è un raffinamento dell'osservazione di salvo: \{a\} = a\mathbb{N}\setminus(\bigcup_p ap\mathbb{N}), dove l'unione è presa sui p primi (e con questa lettera d'ora in poi indicherò solo dei primi, senza esplicitarlo ulteriormente).
in particolare, \mu(\{a\})\le \frac{1}{a}\prod_{p\le N} (1-\frac{1}{p}) per ogni N, per inclusione-esclusione, insieme ad un po' di rimaneggiamenti (usando l'unica ipotesi che abbiamo). ma il prodotto a destra diverge (a 0) per N\to\infty (scegliete uno dei vostri mille motivi preferiti), quindi \mu(\{a\})=0. ma la misura è sigma-additiva e fa zero su ogni singoletto, quindi mi sa che ha qualche problema a soddisfare le ipotesi...
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Messaggioda fry il lun 19 mar 2012, 19:49

ma_go ha scritto:in particolare, \mu(\{a\})\le \frac{1}{a}\prod_{p\le N} (1-\frac{1}{p}) per ogni N, per inclusione-esclusione, insieme ad un po' di rimaneggiamenti (usando l'unica ipotesi che abbiamo).

Non mi sembra così scontato, si potrebbe specificare meglio. Comunque è giusto. Questo risultato è piuttosto drammatico perchè mostra che non si può costruire una teoria probabilistica dei numeri in modo banale.
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Messaggioda salvo.tringali il lun 19 mar 2012, 21:27

fry ha scritto:Non mi sembra così scontato, si potrebbe specificare meglio. Comunque è giusto. [...]

Ha dato qualche problema anche a me (tant'è che ho avuto uno scambio con ma_go in pm, convinto com'ero che ci fosse un errore di conto nei suoi ragionamenti - un errore che, in realta', non c'era), per cui aggiungo i dettagli mancanti.

ma_go ha scritto:[...] l'osservazione chiave è un raffinamento dell'osservazione di salvo: \{a\} = a\mathbb{N}\setminus(\bigcup_p ap\mathbb{N}), dove l'unione è presa sui p primi [...] in particolare, \mu(\{a\})\le \frac{1}{a}\prod_{p\le N} (1-\frac{1}{p}) per ogni N, per inclusione-esclusione, insieme ad un po' di rimaneggiamenti [...]

In effetti, \displaystyle \mu(\{a\}) = \frac{1}{a} - \mu\!\left( \textstyle \bigcup_{q \;\! \in \;\! \mathbb{P}} aq \mathbb{N}}\right) = \frac{1}{a} - \lim_{n \to \infty} \mu\Big( \textstyle \bigcup_{i = 1}^n aq_i \mathbb{N}}\Big), dove \{q_n\}_{n=1}^\infty è l'enumerazione canonica dei primi naturali (per cui q_1 = 2, q_2 = 3, q_3 = 5, etc) e si è sfruttata, in particolare, la continuità dal basso delle misure. Adesso, pero', applicando il principio di inclusione-esclusione, si trova che

    \displaystyle1-\mu\Big( \textstyle \bigcup_{i = 1}^n aq_i \mathbb{N}}\Big) =\displaystyle \sum_{k=0}^n \left\{(-1)^k \sum_{\mathbf{i} \in I_k} \mu\Big( \textstyle \bigcap_{r = 1}^k aq_{\;\!\mathbf{i}_r} \mathbb{N}}\Big)\right\} = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left\{(-1)^k \sum_{\mathbf{i} \in I_k} \mu\Big(\mathrm{lcm}(aq_{\;\!\mathbf{i}_1},aq_{\;\!\mathbf{i}_2}, \ldots, aq_{\;\!\mathbf{i}_k}) \mathbb{N}\Big)\right\} =
      \displaystyle =  \sum_{k=0}^n \left\{(-1)^k \sum_{\mathbf{i} \in I_k} \frac{1}{\mathrm{lcm}(aq_{\;\!\mathbf{i}_1},aq_{\;\!\mathbf{i}_2}, \ldots, aq_{\;\!\mathbf{i}_k})}\right\} = \displaystyle \frac{1}{a}\sum_{k=0}^n \left\{(-1)^k \sum_{\mathbf{i} \in I_k} \frac{1}{q_{\;\!\mathbf{i}_1}q_{\;\!\mathbf{i}_2} \cdots q_{\;\!\mathbf{i}_k}}\right\} =  \frac{1}{a}\prod_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{q_i}\right)

per ogni n \in \mathbb{N}^+, dove I_0 := \emptyset e, al variare di k \in \{1,2, \ldots, n\}, I_k indica l'insieme di tutti i multi-indici \mathbf{i} = (\mathbf{i}_1, \mathbf{i}_2, \ldots, \mathbf{i}_k) \in \mathbb{N}^k tali che 1 \le \mathbf{i}_1 < \mathbf{i}_2 < \cdots < \mathbf{i}_k \le n.
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Messaggioda salvo.tringali il mer 11 giu 2014, 10:53

Per la cronaca, si tratta del teorema 1 nel capitolo III.1 (p. 269) di G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46, Cambridge University Press: Cambridge, 1995 (l'ho scoperto stamattina cercando riferimenti alla nozione astratta di densità).
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