Un processo [tex]L^1[/tex] adattato e' una martingala se per alcuni tempi d'arresto [tex]\tau, E[X_\tau]=c[/tex]

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Un processo [tex]L^1[/tex] adattato e' una martingala se per alcuni tempi d'arresto [tex]\tau, E[X_\tau]=c[/tex]

Messaggioda pic il sab 3 mar 2012, 0:49

Sia (\Omega,(\mathcal F_t)_{t\ge0},\mathbb P) uno spazio di probabilita' con filtrazione. Siano c\in \mathbb R ed (X_t){_{t\ge0} un processo L^1 adattato. Supponiamo che per ogni tempo d'arresto \tau che assuma al piu' 2 valori, entrambi finiti, valga E[X_\tau]=c. Provare che X e' una martingala.
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Messaggioda Spok il lun 2 apr 2012, 13:47

Siccome non si fa avanti nessuno, propongo la mia dimostrazione.

Occorre mostrare che \forall t>s\geq0 si ha E[1_A X_t ] = E[1_A X_s] \quad \forall A \in \mathcal{F}_s.

Consideriamo un generico A \in \mathcal{F}_s e definiamo le due v.a.
S=s e T=1_A t + 1_{A^c} s. Il primo è chiaramente uno stopping time.
Per il secondo si osserva che
T\leq u = \emptyset se u<s;
T \leq u = A^c se s\leq u <t e
T\leq u= \Omega se t\leq u.

|X_S|=|X_s| ed |X_T|\leq |X_t|+|X_s| sono integrabili e dalla condizione E[X_T]=E[X_S] si ottiene E[1_A X_t ] = E[1_A X_s].
Spok
 
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