Forum Scienze Matematiche

da **Spok** il ven 20 gen 2012, 13:49

Continuando sule martingale a tempo discreto propongo questo esercizio.

Teorema. Sia $\{X_n\}_{n \geq 0}$ un processo integrabile ed adattato alla finltrazione $\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}$
ovvero $E[|X_n|]<\infty$ e $X_n \in \mathcal{F}_n$ (dove con questo ultimo abuso di notazione intendo la misurabilità).
Esisteno una martingala $\{M_n\}_{n \geq 0}$ ( $M_0=0$ ) ed un processo previsibile $\{A_n\}_{n \geq 0}$ ( $A_n \in \mathcal{F}_{n-1}, \,\, \forall n \geq 1; \,\,\, A_0=0$ )
tali che $X_n=X_0+M_n+A_n$ , e tale decomposizione è unica.

La dimostrazione è semplice e la si può trovare, penso, ovunque.
Qua un hint.

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Esercizio.
Sia $S_n$ tale che: $S_0=0, \,\,\, S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ , dove $\{X_k\}_{k\geq 1}$ sono tali che $P(X_k=1)=P(X_k=-1)=\frac{1}{2}$ ; sia inoltre $\mathcal{F}_0=\{\Omega,\emptyset\}$ e $\mathcal{F}_n=\sigma \{X_1,...,X_n\}$ .

Determinare:
1) $E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n>0}|\mathcal{F}_n]$ ;

2) $E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n<0}|\mathcal{F}_n]$ ;

3) sia $|S|=M+A$ la decomposizione di $|S|$ : mostrare che $M_n=\sum_{k=1}^n \text{sign}(S_{k-1})X_k$ e $A_n=\sum_{k=0}^{n-1} 1_{S_k=0}$ dove $\text{sign}$ è la funzione segno (vale 0 in 0);

4) definito $Q_n=#\{0 \leq k \leq n-1 \, |\, S_k=0\}$ , il numero di volte che la passeggiata tocca lo 0, mostrare che per n grande si ha l'approssimazione $E[Q_n]\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}n$ .

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