Decomposizione di Doob

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Decomposizione di Doob

Messaggioda Spok il ven 20 gen 2012, 13:49

Continuando sule martingale a tempo discreto propongo questo esercizio.

Teorema. Sia \{X_n\}_{n \geq 0} un processo integrabile ed adattato alla finltrazione \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}
ovvero E[|X_n|]<\infty e X_n \in \mathcal{F}_n (dove con questo ultimo abuso di notazione intendo la misurabilità).
Esisteno una martingala \{M_n\}_{n \geq 0} (M_0=0) ed un processo previsibile \{A_n\}_{n \geq 0} (A_n \in \mathcal{F}_{n-1}, \,\, \forall n \geq 1; \,\,\, A_0=0)
tali che X_n=X_0+M_n+A_n, e tale decomposizione è unica.

La dimostrazione è semplice e la si può trovare, penso, ovunque.
Qua un hint.


Esercizio.
Sia S_n tale che: S_0=0, \,\,\, S_n=\sum_{k=1}^nX_k, dove \{X_k\}_{k\geq 1} sono tali che P(X_k=1)=P(X_k=-1)=\frac{1}{2}; sia inoltre \mathcal{F}_0=\{\Omega,\emptyset\} e \mathcal{F}_n=\sigma \{X_1,...,X_n\}.

Determinare:
1) E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n>0}|\mathcal{F}_n];

2) E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n<0}|\mathcal{F}_n];

3) sia |S|=M+A la decomposizione di |S|: mostrare che M_n=\sum_{k=1}^n \text{sign}(S_{k-1})X_k e A_n=\sum_{k=0}^{n-1} 1_{S_k=0} dove \text{sign} è la funzione segno (vale 0 in 0);

4) definito Q_n=#\{0 \leq k \leq n-1 \, |\, S_k=0\}, il numero di volte che la passeggiata tocca lo 0, mostrare che per n grande si ha l'approssimazione E[Q_n]\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}n.
Spok
 
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