Continuando sule martingale a tempo discreto propongo questo esercizio.
Teorema. Sia

un processo integrabile ed adattato alla finltrazione

ovvero
![E[|X_n|]<\infty E[|X_n|]<\infty](/forum/latexrender/pictures/d/b/9/db91e3deeee36673d2012fc656a4fd12.gif)
e

(dove con questo ultimo abuso di notazione intendo la misurabilità).
Esisteno una martingala

(

) ed un processo previsibile

(

)
tali che

, e tale decomposizione è unica.
La dimostrazione è semplice e la si può trovare, penso, ovunque.
Qua un hint.
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Esercizio. Sia

tale che:

, dove

sono tali che

; sia inoltre

e

.
Determinare:
1)
![E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n>0}|\mathcal{F}_n] E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n>0}|\mathcal{F}_n]](/forum/latexrender/pictures/f/e/b/feb7c1c9d07912c2999671f17ab2087d.gif)
;
2)
![E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n<0}|\mathcal{F}_n] E[(|S_{n+1}|-|S_n|)1_{S_n<0}|\mathcal{F}_n]](/forum/latexrender/pictures/6/8/6/686b40a95d7f518870e930d31b26c9ef.gif)
;
3) sia

la decomposizione di

: mostrare che

e

dove

è la funzione segno (vale 0 in 0);
4) definito

, il numero di volte che la passeggiata tocca lo 0, mostrare che per n grande si ha l'approssimazione
![E[Q_n]\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}n E[Q_n]\sim \sqrt{\frac{2}{\pi}n](/forum/latexrender/pictures/b/9/1/b919b9b79b5da93db91e7ab891c41c82.gif)
.