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Messaggioda Spok il gio 19 gen 2012, 16:37

Un saluto a tutti.

Sia \{X_n\}_{n \geq 1} una successione di variabili aleatorie i.i.d. con funzione di distribuzione continua.
Siano E_n,\, n \geq 2 gli eventi E_n=\{X_n>X_k ;\,\, \forall k<n\}. Dimostrare che gli eventi E sono indipendenti (questo mi sta creando un po' di rogne oggi) e dimostrare che P(E_n)=\frac{1}{n}.
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Messaggioda fry il gio 10 mag 2012, 10:26

Spok ha scritto:Sia \{X_n\}_{n \geq 1} una successione di variabili aleatorie i.i.d. con funzione di distribuzione continua.
Siano E_n,\, n \geq 2 gli eventi E_n=\{X_n>X_k ;\,\, \forall k<n\}. [...] dimostrare che P(E_n)=\frac{1}{n}.

Con funzione di distribuzione immagino tu intenda funzione di densità, che chiamerò f. Per ogni intero n \geq 2, per l'indipendenza della variabili \{X_n\}_{n \geq 1}, abbiamo

    \mathbb{P}\big[E_n\big] = \int_S f(x_1) f(x_2) \cdots f(x_n) \,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n
dove S := \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n : x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} < x_n \}, ovvero

    \mathbb{P}\big[E_n\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x_n) \int_{-\infty}^{x_n} f(x_{n-1}) \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f(x_1) \,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n

      = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x_n) [F(x_n)]^{n-1} \,\mathrm{d}x_n = \left[\frac1{n}[F(x)]^n \right]_{x=-\infty}^{+\infty}

      = \frac1{n}\left({\displaystyle\lim_{x \to +\infty}} F(x) - {\displaystyle\lim_{x \to -\infty}} F(x)\right) = \frac1{n}
dove F : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto \int_{-\infty}^x f(t) \, \mathrm{d}t è la funzione di ripartizione. []
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Messaggioda Spok il ven 11 mag 2012, 10:51

Ciao fry. No in realtà intendevo con funzione di ripartizione continua, che equivale a dire P(X=x)=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}. Penso comunque che il tuo ragionamento sia facilmente estendibile considerando gli integrali alla LS in dF.
Il risultato si puo anche ottenere tramite combinatoria. Infatti X_1<X_2<...<X_n è una possibile combinazione delle n! possibili. Di queste (equiprobabili) siamo interessati alle (n-1)! che hanno come v.a. più grande X_n.
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