La convergenza in probabilita' nasce da una metrica?

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La convergenza in probabilita' nasce da una metrica?

Messaggioda pic il lun 28 nov 2011, 17:02

Sia \Omega spazio di probabilita' e \mathcal L^1(\Omega) lo spazio delle variabili aleatorie reali X:\Omega\to\mathbb R tali che E|X|<\infty. Trovare, o dimostrare che non esiste, una metrica d:\mathcal L^1\times\mathcal L^1\to \mathbb R_{\ge0} tale che per ogni successione (X_n)_n\subseteq\mathcal L^1(\Omega) ed X\in \mathcal L^1(\Omega), X_n\to X in probabilita' se e solo se d(X_n,X)\to 0.
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pic
 
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Messaggioda D. G. il lun 5 dic 2011, 21:11

D. G.
 
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Messaggioda Spok il gio 26 gen 2012, 12:35

Completo l'opera di D.G.
Considero X=0.

Considerando la crescenza della funzione \frac{x}{1+x}, \,\,\, x \geq 0 si ha
\int_{\Omega}\frac{|X_n|}{1+|X_n|}dP =\int_{|X_n|< \varepsilon}\frac{|X_n|}{1+|X_n|}dP +\int_{|X_n|\geq \varepsilon}\frac{|X_n|}{1+|X_n|}dP \geq \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}P(|X_n|\geq \varepsilon).

Nell'altra direzione:
\int_{\Omega}\frac{|X_n|}{1+|X_n|}dP\leq P(|X_n|\geq \varepsilon) + \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}.
Spok
 
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