Forum Scienze Matematiche

di **killing_buddha** il mer 23 dic 2009, 20:36

Paradosso di Borel. Sia $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ uno spazio misurato. Se $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ è un processo di Bernoulli di parametro $p$ , e per ogni intero $h\ge 1$ consideriamo una sequenza $(x_1,\dots, x_h)\in\{0,1\}^h$ , allora, dato l'evento

$A_n = \{X_{n+1}=x_1,\dots X_{n+h}=x_h\}$

l'evento $\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n$ è certo. (Ossia: qualunque sequenza si scelga, per quanto lunga, essa appare prima o poi nel processo di Bernoulli).

Corollario: nell'espansione in base 2 di $\pi$ è contenuto il sorgente di Windoz. :rotfl:

di **Ani-sama** il mer 23 dic 2009, 22:53

Uhm... tu chiedi di dimostrare che: per ogni $h \in \mathbb N_0$ , per ogni $(x_1,\ldots,x_h) \in \{0,1\}^h$ , esiste $n$ tale che $A_n =\Omega$ ?

Comunque, la cosa che non mi convince di tutto quanto è che detto così sembra si possa benissimo fare a meno della probabilità... Dove mi sbaglio?

di **Anto** il mar 29 dic 2009, 19:10

Consideriamo la successione di variabili aleatorie:
$Y_1=[X_1;...;X_h]; Y_2=[X_{h+1};...;X_{2h}];...;Y_n=[X_{(n-1)h+1};...;X_{nh}];...$
esse sono indipendenti e isonome (cioè con la stessa legge uguale al prodotto di $h$ copie della legge di Bernoulli di parametro $p$ ). Consideriamo le funzioni indicatrici $\{Z_n\}_{n\in\mathbb N^+}$ degli insiemi:
$B_n=\{X_{(n-1)h+1}=x_{(n-1)h+1};...;X_{nh}=x_{nh}\}$
Le variabili $Z_n$ sono indipendenti (per composizione poichè lo sono le $Y_n$ ). Se consideriamo il blocco $Z=[Z_i]_{i\geq 1}$ questo è un processo di Bernoulli di parametro $p^k(1-p)^{h-k}$ dove $k=x_1+...+x_h$ , quindi l'evento $\bigcup_{n\in\mathbb N^+}B_n$ che è l'evento "esiste un successo nel processo $Z$ " è quasi certo (poichè $p^k(1-p)^{h-k} \in ]0,1[$ ), allora per isotonia della probabilità:
$\bigcup_{n\in\mathbb N^+}B_n\subseteq \bigcup_{n\in\mathbb N^+}A_n$ $\implies 1=P(\bigcup_{n\in\mathbb N^+}B_n)\leq P(\bigcup_{n\in\mathbb N^+}A_n)$

di **desh** il lun 31 mag 2010, 1:14

killing_buddha ha scritto:Corollario: nell'espansione in base 2 di $\pi$ è contenuto il sorgente di Windoz.

Scusate l'OT, ma mi sembra il caso di citare questo.

P.S.: Per par condicio, anche Steve Jobs è un criminale.

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[paradosso di Borel] Bill Gates è un criminale.

[paradosso di Borel] Bill Gates è un criminale.

Ho capito bene?

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