Sia $K$ un campo di caratteristica zero, e siano $u, v: K \to K$ endomorfismi del gruppo additivo di $K$ tali che $x = u \circ v(x)$ per ogni $x \in K$. Provate che esistono $a, b \in K \setminus \{0_K\}$ tali che $u(x) = ax$ e $v(x) = bx$ per ogni $x \in K$.
È forse nota una qualche dimostrazione elementare dell'esistenza di infiniti elementi irriducibili a due a due non associati nell'anello degli interi di un campo di numeri? Da quel che leggo su MSE, parrebbe di no, ma l'autore del post (tal Bruno Joyal) non mi sembra esattamente un esperto.
Sia $n$ un intero positivo. Diciamo che un insieme $A \subseteq \mathbf Z/n\mathbf Z$ è un atomo se $|A| \ge 2$ e non esistono $X, Y \subseteq \mathbf Z/n\mathbf Z$ tali che $|X|, |Y| \ge 2$ e $A = X + Y := \{x+y: x \in X \text{ and }y \in Y\}$. Sia $\alpha_n$ il numero degli atomi $\subseteq \mathb...
Siano $n$ un intero positivo e $\mu$ la misura esterna di Lebesgue su $\mathbf R^n$ (normalizzata dimodoché la misura del cubo $n$-dimensionale $[0,1]^n$ sia eguale a $1$). Quindi sia $\mathcal L(\mathbf R^n)$ il monoide dei sottoinsiemi non vuoti e limitati di $\mathbf R^n$ con l'operazione di set ...
Vi invito a dimostrare il seguente lemma (estremamente elementare): Siano $u_1, \ldots, u_n$ dei reali positivi tali che $u_1 + \cdots + u_i < u_{i+1}$ per ogni $i \in [\![1, n-1]\!]$, e sia $x \in \sum_{i=1}^n \{0, u_i\}$ (v. alla voce Sumset per la notazione). Allora esiste un unico insieme di ind...
Sia $(H, \cdot)$ un monoide moltiplicativo (che, con abuso di notazione, identificherò con il suo ground set $H$, come di consueto...). Indico con $1_H$ l'identità di $H$, e con $\mathcal P_{{\rm fin},0}(H)$ il monoide dei sottoinsiemi finiti $X$ di $H$ tali che $X \cap H^\times \ne \emptyset$, dove...