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[tex] \sum_{n=1}^{\infty} n^{-n}=\int_0^1x^{-x} \,dx[/tex]

Propongo un esercizio carino di analisi.
Mostrare che vale la seguente identità

    \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{-n}=\int_0^1x^{-x} \,dx
Buon divertimento! :)
da Albe
il mar 31 ago 2010, 11:44
 
Forum: Analisi Matematica
Argomento: [tex] \sum_{n=1}^{\infty} n^{-n}=\int_0^1x^{-x} \,dx[/tex]
Risposte: 1
Visite : 732

Dimostrazione (teorema 7) Se t\in\mathbb{R}^n allora \langle t,X\rangle ha legge N(a,\sigma^2) per qualche a,\sigma\in\mathbb{R} . Esplicitiamo media e varianza: a=\mathbb{E}[\langle t,X\rangle]=\langle t,\mu\rangle \displaystyle \sigma^2=\mathbb{E}[\langle t,X\rangle^2]-a^2=\sum_{i,j}^nt_i...
da Albe
il dom 29 ago 2010, 21:11
 
Forum: Teoria
Argomento: Sulle proprieta' dei vettori aleatori
Risposte: 12
Visite : 6537

Insistiamo

Dim (proposizione 4) Osserviamo che la matrice di covarianza non cambia se supponiamo X_i a media zero per ogni i , è sufficiente considerare X_i-\mathbb{E}[X_i] . Detto questo, un po' di conti. Sia \gamma\in\mathbb{R}^n e \Gamma la matrice delle covarianze allora \displaystyle \gamma^T\Gamma\gamma...
da Albe
il dom 29 ago 2010, 14:08
 
Forum: Teoria
Argomento: Sulle proprieta' dei vettori aleatori
Risposte: 12
Visite : 6537

Per la seconda (2*) mi viene da pensare che se (X,Y) è il nostro vettore aleatorio con componenti normali, ma X,Y non sono indipendenti allora può succedere che (X,Y) non è normale. Per esempio siano X,Z variabili aleatorie indipendenti tali che: X ha legge N(0,1) \mathbb{P}[...
da Albe
il dom 29 ago 2010, 12:14
 
Forum: Teoria
Argomento: Sulle proprieta' dei vettori aleatori
Risposte: 12
Visite : 6537

sorvoliamo su (1) e (2), mostriamo (3). Per cominciare, per ipotesi, u_1X+u_2Y ha legge N(a,\sigma^2) per qualche a,\sigma\in\mathbb{R} . Osserviamo che ponendo u_1=0 e u_2=1 Y ha legge N(a_Y,\sigma_Y^2) , similmente per X . Supponiamo X e Y scorrelate (l'altra freccia è vera per (1)...
da Albe
il dom 29 ago 2010, 9:51
 
Forum: Teoria
Argomento: Sulle proprieta' dei vettori aleatori
Risposte: 12
Visite : 6537

Rilanciamo con una versione un poco più generale. Teorema. Sia X uno spazio di Banach rispetto alla norma \| \cdot \|_X . La serie \sum_n a_n è convergente se la serie \sum_n \|a_n\|_X è convergente. Proof. Osserviamo che dimostrando che la successione s_n=\sum_{k=0}^n a_k è di Cauchy si ha la tesi....
da Albe
il gio 13 ago 2009, 12:10
 
Forum: Teoria
Argomento: Una serie assolutamente convergente è anche convergente
Risposte: 2
Visite : 1961

Trattrice

Vale la pena dire che si tratta dell'equazione della trattrice. Per maggiori informazioni v. qui.
da Albe
il lun 3 ago 2009, 9:04
 
Forum: Analisi Matematica
Argomento: Problema di inseguimento a distanza costante
Risposte: 5
Visite : 1609

La soluzione funziona; nulla da dire... :D
da Albe
il sab 14 feb 2009, 22:27
 
Forum: Algebra lineare
Argomento: [tex]A+A^T=\mathbb{I}_n \implies \left | A \right |>0[/tex]
Risposte: 4
Visite : 1762

[tex]A+A^T=\mathbb{I}_n \implies \left | A \right |>0[/tex]

Per chi è fresco di Algebra lineare, questo problema potrebbe risultare non difficilissimo (ma nemmeno banale).
Sia A \in M_n(\mathbb{R}) tale che A+A^T=\mathbb{I}_n. Mostrare che \left | A \right |>0.

Buon lavoro, e buon divertimento ovviamente :mrgreen:
da Albe
il mar 10 feb 2009, 18:02
 
Forum: Algebra lineare
Argomento: [tex]A+A^T=\mathbb{I}_n \implies \left | A \right |>0[/tex]
Risposte: 4
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Mi permetto di rispondere al posto di Salvo.
r =\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2-a_n}{2-a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-(a_{n+1}^2-2)}{2-a_{n+1}}\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{4-a_{n+1}^2}{2-a_{n+1}}= \lim_{n \to \infty} (2+a_{n+1}) = 4
:bye:
da Albe
il gio 25 set 2008, 11:08
 
Forum: Analisi Matematica
Argomento: Sulla convergenza della serie [tex]\sum_{n=1}^\infty (2-a_n)x^n[/tex]
Risposte: 6
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