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Un 2-gruppo con un sottogruppo carino

Sia G un gruppo non abeliano di ordine 16, ed esista H \le G tale che H \cong {C_2}^3. Mostrare che gli elementi di ordine esattamente 2 in G sono o 7 o 11.
da Paoloz
il sab 22 ott 2011, 9:30
 
Forum: Algebra
Argomento: Un 2-gruppo con un sottogruppo carino
Risposte: 0
Visite : 519

Credo che questo fatto sia valido sotto ipotesi più deboli per P . Supponiamo che P sia normale in G . Allora, per il teorema di Schur-Zassenhaus , essendo [ G : P ] coprimo con |P| per massimalità di P come gruppo avente ordine una potenza di p , P ha complemento, ovvero esiste un sottogruppo M di ...
da Paoloz
il mer 24 ago 2011, 13:44
 
Forum: Algebra
Argomento: Se G è finito e [tex]P \le Z(G)[/tex] è un suo p-Sylow, allora...
Risposte: 1
Visite : 881

Un sottogruppo normale di ordine 2 è sempre centrale: prova a coniugare il suo generatore con un elemento a caso del gruppo e a vedere chi dev'essere...
da Paoloz
il mer 24 ago 2011, 13:20
 
Forum: Algebra
Argomento: Proprietà dei gruppi di ordine 12
Risposte: 12
Visite : 4362

Concordo in tutto ;) Posto il mio ragionamento. Se P non è l'unico 2-Sylow, allora è stato mostrato che P_G ha ordine 2; sia g un suo generatore. Tale gruppo, tra l'altro, è normale e di ordine 2, quindi centrale. Dunque se uno prende h generatore di un 3-Sylow si ha che \langle g \rangle \langle h ...
da Paoloz
il mar 23 ago 2011, 15:54
 
Forum: Algebra
Argomento: Proprietà dei gruppi di ordine 12
Risposte: 12
Visite : 4362

La mappa \alpha in genere non ha nucleo banale. Ad esempio, se esiste un elemento g non banale in comune a tutti i Sylow, allora è chiaro che g^{\alpha} è l'identità. Però ragionare su un sottogruppo di tale nucleo, fatto magari da elementi tipo g , è esattamente la strada che ho seguito io; quindi ...
da Paoloz
il gio 18 ago 2011, 19:11
 
Forum: Algebra
Argomento: Proprietà dei gruppi di ordine 12
Risposte: 12
Visite : 4362

Mi spiego... Come l'avevo inteso io, questo era un esercizio così strutturato: a) Mostrare che in un gruppo di ordine 12 esiste un sottogruppo normale di ordine 2 o 4; b) Mostrare, sfruttando a), che quel gruppo è in effetti un prodotto semidiretto dei suoi Sylow. In questo modo si dimostra di più; ...
da Paoloz
il mer 17 ago 2011, 13:53
 
Forum: Algebra
Argomento: Proprietà dei gruppi di ordine 12
Risposte: 12
Visite : 4362

Ok, well done ;) avevo pensato ad un'altra soluzione; colgo l'occasione per rilanciare.
Dimostrare che in un gruppo di ordine 12 trovo un sottogruppo normale di ordine una potenza di 2 (non banale). Arrivare alla stessa conclusione senza l'argomento di cardinalità.
da Paoloz
il mar 2 ago 2011, 20:13
 
Forum: Algebra
Argomento: Proprietà dei gruppi di ordine 12
Risposte: 12
Visite : 4362

Proprietà dei gruppi di ordine 12

Dimostrare che un gruppo di ordine 12 può essere sempre realizzato come prodotto semidiretto dei suoi Sylow.
da Paoloz
il mar 2 ago 2011, 16:12
 
Forum: Algebra
Argomento: Proprietà dei gruppi di ordine 12
Risposte: 12
Visite : 4362

Per comodità di notazione, fissiamo una volta per tutte d:=(m,n) . Se f: \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_n è omomorfismo, allora succedono tre cose: f(0)=0 dove i due zeri sono gli elementi nulli dei rispettivi insiemi di appartenenza; se per un certo c in \mathbb{Z}_n vale f(...
da Paoloz
il lun 17 gen 2011, 23:49
 
Forum: Algebra
Argomento: Determinare [tex]\mbox{Hom}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)[/tex] per ogni [tex]m,n\geq 1[/tex] interi
Risposte: 3
Visite : 945

E' in effetti abbastanza noto, però proviamo a farlo partendo da zero. Sia K \mid F la nostra estensione. Se F ha caratteristica zero o è finito, allora è perfetto ed ogni polinomio a coefficienti in F è separabile, quindi, per il Teorema dell'Elemento Primitivo, in questi casi estensione finita imp...
da Paoloz
il ven 14 gen 2011, 18:55
 
Forum: Algebra
Argomento: Estensioni finite, ma non semplici!
Risposte: 5
Visite : 1571
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