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Ok... in sostanza deve essere equivalente perchè la dimostrazione della disuguaglianza che ho citato è ingegnosa ma usa metodi elementari. In effetti è un caso particolare del Teorema di Schur in teoria di Ramsey. Un aneddoto: Schur ha usato questo tipo di considerazioni stile Ramsey per dimostrare,...

Sia il più piccolo naturale tale da garantire che il grafo completo , colorato con colori, ammetta una cricca monocromatica di dimensione .

1)Dimostrare che .
2) Risolvere il problema di Jordan usando 1)

Sei a conoscenza di una dimostrazione che non faccia uso , in maniera esplicita o implicita, della disuguaglianza per i numeri di Ramsey R_k(3)\leq \lfloor ek! \rfloor+1 ? ----- R_k(3) è il più piccolo naturale n t.c. il grafo completo K_n possegga un triangolo monocromatico...

Simpatico esercizio dell'Herstein. :mrgreen: Questa è certamente la sezione giusta. Per ipotesi esiste n\in\mathbb Z t.c. (ab)^{n-1}=a^{n-1}b^{n-1}, (ab)^n = a^nb^n, (ab)^{n+1}=a^{n+1}b^{n+1} . Dunque a^{n-1}ab^{n-1}b=a^nb^n=(ab)^n=(ab)^{n-1}ab = a^{n-1}b...

Usando la notazione [\cdot] e le considerazioni su R(n)-R(n+1) del mio post appena sopra, abbiamo \displaymath R(n)=R(n+1) \iff 0=R(n)-R(n+1)=\sum_{k=1}^n (k[k\mid n+1]-1) \iff \sum_{k=1}^n k[k\mid n+1] = n Questo è verificato per le ...

Possiamo scrivere \displaystyle R(n)-R(n+1)=\sum_{k=2}^n \big( n\pmod k - (n+1)\pmod k\big) =: \sum_{k=2}^n S_k Per ogni k\in\{2,3,\ldots, n\} S_k = k-1 se k\mid n+1 e S_k=-1 altrimenti. In quanto segue denoterò [P]=1 quando P sarà una proposizione vera...

Easy quickie. Dimostrare che ogni dominio di integrità finito è un campo di Galois.

Non saprei dire esattamente dove Erdős dimostri il Lemma per la prima volta... ma anche in
The Art and Craft of Problem Solving viene detto che la dimostrazione che hai postato si deve a lui... quindi direi
che possiamo fidarci!

Ok mi sembra che funzioni! La trovo molto interessante: non sapevo si potesse dimostrare senza combinatoria! Per completezza trascrivo la soluzione standard , che è in stile Ramsey-oso: Lemma. Comunque si scelgano n+1 elementi distinti di \{1,\ldots, 2n\} , ne esisteranno sempre due t.c. uno...

[Posto in Teoria , in attesa che gli altri mod. esprimano la loro opinione sulla sezione Articoli ] In uno dei suoi libri Koblitz propone il seguente esercizio Es. di Koblitz. Dimostrare che per ogni primo r esistono solo un numero finito di primi p,q tali che rpq sia un numero di Ca...